4.(0,5 pontos) Resol
y^prime prime+5 y^prime+6 y=0,
y(0)=1,
y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

A equação característica associada à EDO é
r^2 + 5r + 6 = 0
e precisamos encontrar as raízes r dessa equação.

Passo 3

Fatorando a equação característica, temos
(r + 2)(r + 3) = 0
o que dá as raízes
r1 = -2, r2 = -3

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 5

Para determinar C1 e C2, primeiro derivamos y(t):
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t
Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0) = -2C1 - 3C2 = 0

Resposta

A solução particular com as condições iniciais é y(t) = 3e^-2t - 2e^-3t.

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