integralC Im z^2 d z no sentido anti-horário ao longo do triângulo de vértices z=0,1, i

Passo 1

Resumindo, temos que calcular o contorno
integralCIml(z^2r),dz
no sentido anti-horário ao longo do triângulo com vértices 0,1,i. O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para escrever
dz = dx + i,dy
e converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região triangular em R^2.

Passo 2

Escrevemos z = x + i y. Então
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2i,x,y,
de onde
Iml(z^2r) = 2,x,y
Denotamos u(x,y)=2xy.

Passo 3

Como
dz = dx + i,dy,
temos
integralCu,dz = integralCu,dx + iintegralCu,dy
Definindo P(x,y)=u(x,y) e Q(x,y)=i,u(x,y), aplicamos o Teorema de Green:
integralCP,dx + Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde R é o triângulo x>=0, y>=0, x+y<=1.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
ux = partialpartial x(2xy)=2y, uy = partialpartial y(2xy)=2x,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =partial (i,u)partial x-partial upartial y =i,ux - uy =2i,y - 2x
Portanto
integralCIm(z^2),dz =integral duplaRl(-2x + 2i,yr),dA

Passo 5

A região R é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,1). Como seu centroide é l(tfrac13,tfrac13r) e a área vale tfrac12, segue
integral duplaRx,dA = 12cdot13 = 16, integral duplaRy,dA = 12cdot13 = 16
Logo
integral duplaR(-2x),dA = -2cdot16 = -13, integral duplaR(2i,y),dA = 2icdot16 = i3

Passo 6

Somando as duas parcelas da integral dupla, obtemos
integralCIm(z^2),dz =-13 + i3

Resposta

-13+i3

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