(RA1 e RA2) Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área por integral. Em seguida, verifique se o resultado apresentado está coerente (compare o resultado dado com a área de uma ou mais figuras planas conhecidas que contenham a região limitada - destaque a figura da região utilizada para verificação superposta à região original).
y=e^x, y=e^-x, x=0, x=2
Verificação:

Passo 1

O enunciado nos dá a região no plano limitada pelas curvas
y = e^x, y = e^-x, x = 0, x = 2
e pede que a área dessa região seja calculada por integral. Vamos precisar identificar qual curva está “acima” e qual está “abaixo” para montar a integral da área.

Passo 2

Para x>=0 temos e^x>= e^-x, logo a distância vertical entre as curvas é
e^x-e^-x
Assim, a área A da região é dada por
A = integralx=0^2l(e^x-e^-xr),dx

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integrall(e^x-e^-xr),dx = integral e^x,dx - integral e^-x,dx = e^x + e^-x + C
(portanto o sinal menos de integral e^-x,dx vira +e^-x porque integral e^-x,dx=-e^-x).

Passo 4

A área é
A=l[e^x+e^-xr]0^2 =l(e^2+e^-2r)-l(e^0+e^0r) =e^2+e^-2-2
Numericamente, como e^2approx7,389 e e^-2approx0,135,
Aapprox7,389+0,135-2=5,524,

Passo 5

Verificação de coerência:
A região está contida no retângulo de vértices (0,0), (2,0), (2,e^2), (0,e^2), cuja área é
Área do retângulo = 2cdot e^2approx2cdot7,389=14,778 Áâ
Como 5,524<14,778, a área obtida está bem abaixo da do retângulo que a contém, o que faz sentido.
Também podemos comparar com o triângulo de base 2 e altura e^2:
Área do triângulo = tfrac12cdot2cdot e^2=e^2approx7,389, Áâ
e de fato 5,524<7,389. Essas comparações confirmam que a área e^2+e^-2-2 está no intervalo esperado.

Resposta

A = e^2+e^-2-2approx5,524

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