integralC sen z d z com C sendo qualquer caminho entre 0 e 2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCsenz,dz
sendo C qualquer caminho de 0 até 2i. O conteúdo envolvido é o fato de que funções inteiras (holomorfas em C) admitem primitivas, e que a integral de uma função ao longo de um caminho só depende dos extremos quando existe primitiva.

Passo 2

Primeiro notamos que senz é inteira, pois é dada pela série de Taylor convergente em todo C. Logo, existe uma primitiva F(z) tal que
F'(z)=senz

Passo 3

Sabemos que uma primitiva de senz é
F(z)=-cos z,
porque
ddzl(-cos zr)=senz

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em análise complexa, a integral ao longo de qualquer caminho de 0 a 2i é
integralCsenz,dz=F(2i)-F(0)=-cos(2i)-l(-cos(0)r)=cos(0)-cos(2i)

Passo 5

Como cos(0)=1 e cos(2i)=cosh(2), concluímos que
integralCsenz,dz = 1 - cosh(2)

Resposta

1 - cosh(2)

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