Um pequeno foguete experimental é lançado verticalmente, e sua aceleração medida (em m / s^2 ) é modelada pela função vetorial:
a(t)=(0,0,6 t), para 0 <= t <= 5 segundos
Sabendo que no instante inicial t=0 :
  • A posição do foguete é r(0)=(0,0,0).
  • Sua velocidade inicial é v(0)=(0,0,0).

Determine:

  1. A função posição r(t) do foguete.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração vetorial
vec a(t)=(0,0,6t) para 0<= t<=5, com condições iniciais vec v(0)=(0,0,0) e vec r(0)=(0,0,0).
O conteúdo é cinemática vetorial: vec a(t)=vec r''(t). Para achar vec r(t) vamos integrar vec a(t) para obter vec v(t) e depois integrar vec v(t) para obter vec r(t).

Passo 2

A velocidade vec v(t) é dada por
vec v(t)=integral0^tvec a(s),ds+vec v(0)
Como vec a(s)=(0,0,6s) e vec v(0)=(0,0,0), temos
vec v(t) =integral0^t(0,0,6s),ds =(0,0,3t^2)

Passo 3

A posição vec r(t) é dada por
vec r(t)=integral0^tvec v(s),ds+vec r(0)
Substituindo vec v(s)=(0,0,3s^2) e vec r(0)=(0,0,0), obtemos
vec r(t) =integral0^t(0,0,3s^2),ds =(0,0,t^3)

Resposta

vec r(t)=(0,0,t^3).

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