integralC e^2 z d z com C sendo o menor caminho entre pi i e 2 pi i

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralC e^2z,dz
onde C é o menor caminho que vai de pi i a 2pi i. O conteúdo aqui é cálculo de integral de função holomorfa em variável complexa, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo (primitivas).

Passo 2

Observamos que a função f(z)=e^2z é inteira (holomorfa em todo o plano). Uma primitiva de f é
F(z)=12e^2z,
pois tfracddzF(z)=e^2z.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Complexo, a integral independe do caminho e vale
integralC e^2z,dz = F(2pi i)-F(pi i)

Passo 4

Calculamos
F(2pi i)=12e^2cdot2pi i=12e^4pi i e F(pi i)=12e^2cdotpi i=12e^2pi i
Como e^2pi i=1 e e^4pi i=1, segue que
F(2pi i)=12, F(pi i)=12

Passo 5

Portanto
integralC e^2z,dz =F(2pi i)-F(pi i) =12-12 =0

Resposta

0

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