parametriza o arco de parábola
, entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o arco da parábola
que vai do ponto
até
. Vamos usar o cálculo de integrais ao longo de curvas, especificamente parametrizando a curva para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos escolher
como nosso parâmetro. Vamos chamar
, então
. O parâmetro
varia de 1 a 3, já que estamos indo de
até
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir o
dentro da soma:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Avaliada de 1 a 3:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral
usando integração por partes. Vamos escolher:
Passo 9
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliada de 1 a 3:
Como
:
Resposta
Somando as duas partes da integral, temos:
Portanto, a integral
vale
.