integralgamma(x y+ln (x)) d y, gamma parametriza o arco de parábola y=x^2, entre (1,1) e (3,9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma(x y+ln (x)) , dy, onde gamma é o arco da parábola y = x^2 que vai do ponto (1,1) até (3,9). Vamos usar o cálculo de integrais ao longo de curvas, especificamente parametrizando a curva para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. Como y = x^2, podemos escolher x como nosso parâmetro. Vamos chamar x = t, então y = t^2. O parâmetro t varia de 1 a 3, já que estamos indo de x = 1 até x = 3.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dy em termos de t. Diferenciando y = t^2 em relação a t, temos:
dydt = 2t Rightarrow dy = 2t , dt

Passo 4

Vamos substituir x, y e dy na integral original:
integralgamma(x y+ln (x)) , dy = integral1^3 (t cdot t^2 + ln(t)) cdot 2t , dt
Simplificando:
integral1^3 (t^3 + ln(t)) cdot 2t , dt

Passo 5

Vamos distribuir o 2t dentro da soma:
integral1^3 (2t cdot t^3 + 2t cdot ln(t)) , dt = integral1^3 (2t^4 + 2t ln(t)) , dt

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^3 2t^4 , dt + integral1^3 2t ln(t) , dt

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral 2t^4 , dt = 2 cdot t^55 = 25 t^5
Avaliada de 1 a 3:
[25 t^5]1^3 = 25 (3^5) - 25 (1^5) = 25 (243) - 25 (1) = 4865 - 25 = 4845

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral integral 2t ln(t) , dt usando integração por partes. Vamos escolher:
u = ln(t) Rightarrow du = 1t , dt
dv = 2t , dt Rightarrow v = t^2

Passo 9

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral 2t ln(t) , dt = t^2 ln(t) - integral t^2 cdot 1t , dt = t^2 ln(t) - integral t , dt
= t^2 ln(t) - t^22
Avaliada de 1 a 3:
[t^2 ln(t) - t^22]1^3 = (9 ln(3) - 92) - (1 cdot ln(1) - 12)
Como ln(1) = 0:
= 9 ln(3) - 92 - (0 - 12) = 9 ln(3) - 92 + 12 = 9 ln(3) - 4

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
4845 + (9 ln(3) - 4) = 4845 - 4 + 9 ln(3) = 484 - 205 + 9 ln(3) = 4645 + 9 ln(3)
Portanto, a integral integralgamma(x y+ln (x)) , dy vale 4645 + 9 ln(3).

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