integralgamma[ln (x+y^2)-y] d x+[2 y ln (x+y^2)-x] d y sendo gamma a curva (x-2)^2+y^2=1 com y >= 0 orientada no sentido horário.
Resp. 3 ln 3-2.

Passo 1

A integral pede para calcular integralgammaP,dx+Q,dy, onde P(x,y)=ln(x+y^2)-y e Q(x,y)=2yln(x+y^2)-x, e gamma é a curva definida por (x-2)^2+y^2=1, y>=0, orientada sentido horário.

Passo 2

Como gamma fica toda sobre o eixo y=0? Na verdade, a condição y>=0 restringe gamma ao semicírculo superior, mas para simplificar é comum fechar o contorno com o diâmetro y=0. No diâmetro, temos y=0 e dy=0, portanto sobre esse pedaço (x-2)^2+0^2=1 com x de 1 a 3, vale x+y^2=x e assim
P(x,0)=ln(x)-0=ln x, Q(x,0)=0,, dy=0, dx=dx

Passo 3

Logo o integrando fica apenas ln x,dx. Integrando de x=1 até x=3:
integral1^3ln x,dx=l[xln x - xr]1^3=(3ln3-3)-(1cdot0-1)=3ln3-2

Resposta

3 \ln 3-2

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