Mostre que as integrais de linha não dependem do caminho e calcule as integrais:
(a) integral(1,1)^(a, b) 2 x y d x+(x^2-y^2) d y.
Resp. a^2 b-b^33-23.

Passo 1

Este exercício trata da integral de linha da forma diferencial omega = 2xy,dx + (x^2 - y^2),dy no plano, de (1,1) até (a,b). O conteúdo principal é mostrar que omega é exata (logo, a integral independe do caminho) e usar a função potencial para calcular o valor da integral.

Passo 2

Para checar que omega é exata, identificamos P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2 - y^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x
Como partial P/partial y = partial Q/partial x e o domínio ( R^2) é simplesmente conexo, concluímos que omega é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f(x,y) tal que df=omega, integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Em seguida, impomos que partial f/partial y = Q(x,y):
partial fpartial y=x^2 + h'(y)=x^2 - y^2 Rightarrow h'(y)=-y^2
Integrando, h(y)=-tfracy^33+C. Podemos escolher C=0, pois vai se cancelar no cálculo da diferença.

Passo 4

Pelo teorema da função potencial, a integral de (1,1) a (a,b) é
f(a,b)-f(1,1)=l(a^2b-tfracb^33r)-l(1^2cdot1-tfrac1^33r)=a^2b-b^33-l(1-tfrac13r)=a^2b-b^33-23

Resposta

a^2b - b^33 - 23

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