Mostre que as integrais de linha não dependem do caminho e calcule as integrais:
(a)
.
Resp.
.
(a)
Resp.
Passo 1
Este exercício trata da integral de linha da forma diferencial
no plano, de
até
. O conteúdo principal é mostrar que
é exata (logo, a integral independe do caminho) e usar a função potencial para calcular o valor da integral.
Passo 2
Para checar que
é exata, identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
Integrando,
. Podemos escolher
, pois vai se cancelar no cálculo da diferença.
Passo 4
Pelo teorema da função potencial, a integral de
a
é