Mostre que cada campo abaixo é conservativo e calcule as integrais.
(a)
sendo
, onde
.
Resp. 1.
(a)
Resp. 1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo
é conservativo e em seguida calcular a integral de linha
ao longo de
,
. O conteúdo envolve campos conservativos e uso do potencial para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, o campo é conservativo num domínio simples.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
temos
onde
é função só de
. Derivando em
e igualando a
gera
, logo
é constante e podemos escolher
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a integral ao longo de
vale
Resposta
1