Mostre que cada campo abaixo é conservativo e calcule as integrais.
(a) integralgamma 7 x^6 y d x+x^7 d y sendo gamma(t)=(t, e^t^2-1), onde t in[0,1].
Resp. 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo F(x,y)=(7x^6y,,x^7) é conservativo e em seguida calcular a integral de linha integralgamma7x^6y,dx + x^7,dy ao longo de gamma(t)=(t,e^t^2-1), tin[0,1]. O conteúdo envolve campos conservativos e uso do potencial para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para verificar se F é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y=partialpartial y(7x^6y)=7x^6, partial Qpartial x=partialpartial x(x^7)=7x^6
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo num domínio simples.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x=7x^6y, partialphipartial y=x^7
Integrando partialphi/partial x=7x^6y em relação a x temos
phi(x,y)=x^7y + h(y),
onde h(y) é função só de y. Derivando em y e igualando a Q gera h'(y)=0, logo h(y) é constante e podemos escolher
phi(x,y)=x^7y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a integral ao longo de gamma vale
phi(gamma(1)) - phi(gamma(0)) = phil(1,e^1^2-1r)-phil(0,e^0^2-1r) =1^7cdot e^0 - 0^7cdot e^-1 = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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