integrallambda(x+y) d x+(x-y) d y, onde lambda:[0,2] R^2, lambda(t)=(t, 2 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é pra calcular uma integral de linha, que basicamente soma os valores de uma função ao longo de um caminho específico no plano. A função que vamos integrar aqui é (x + y) dx + (x - y) dy, e o caminho, ou trajetória, é dado por lambda(t) = (t, 2t), onde t varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar o caminho lambda(t) = (t, 2t). Isso quer dizer que, conforme t varia de 0 a 2, o ponto (x, y) se move ao longo desse caminho. Aqui, x = t e y = 2t. Essa parametrização nos ajuda a expressar dx e dy em termos de dt, o que é essencial para calcular a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx e dy. Sabemos que x = t, então dx/dt = 1, ou seja, dx = dt. Da mesma forma, y = 2t, então dy/dt = 2, ou seja, dy = 2dt. Essas expressões vão substituir dx e dy na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo x = t, y = 2t, dx = dt e dy = 2dt na integral, temos:
integrallambda (x + y) dx + (x - y) dy = integral0^2 ( t + 2t ) dt + ( t - 2t ) 2dt

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
(t + 2t) = 3t (t - 2t) = -t
Então, a integral fica:
integral0^2 3t cdot dt + (-t) cdot 2dt = integral0^2 3t , dt - 2t , dt

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:
integral0^2 (3t - 2t) dt = integral0^2 t , dt
Isso simplifica a nossa integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 7

Calculamos a integral de t em relação a t:
integral t , dt = t^22
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a 2.

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
t^22 |0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2

Resposta

A integral vale 2.

Exercícios relacionados