, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me mandou é pra calcular uma integral de linha, que basicamente soma os valores de uma função ao longo de um caminho específico no plano. A função que vamos integrar aqui é
, e o caminho, ou trajetória, é dado por
, onde
varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar o caminho
. Isso quer dizer que, conforme
varia de 0 a 2, o ponto
se move ao longo desse caminho. Aqui,
e
. Essa parametrização nos ajuda a expressar
e
em termos de
, o que é essencial para calcular a integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Sabemos que
, então
, ou seja,
. Da mesma forma,
, então
, ou seja,
. Essas expressões vão substituir
e
na nossa integral original.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral, temos:
Passo 5
Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Isso simplifica a nossa integral para algo mais fácil de calcular.
Passo 7
Calculamos a integral de
em relação a
:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a 2.
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral vale 2.