1. integralpi / 6^pi / 3 integralcosec phi^2 cosec phi integral0^2 pi rho^2 sen phi d theta d p d phi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
integralphi=pi/6^pi/3integralrho=cscphi^2cscphiintegraltheta=0^2pirho^2sinphi;dtheta,drho,dphi
Estamos em coordenadas esféricas, com ordem de integração dtheta, depois drho e por fim dphi. Vamos usar integração iterada extraindo constantes quando possível.

Passo 2

Primeiro integramos em theta:
integral0^2pirho^2sinphi;dtheta =rho^2sinphiintegral0^2pidtheta =2pi,rho^2sinphi

Passo 3

Agora integramos em rho:
integralrho=cscphi^2cscphi2pi,rho^2sinphi;drho =2pisinphiintegralcscphi^2cscphirho^2drho =2pisinphicdot13l[(2cscphi)^3-(cscphi)^3r]
Como (2cscphi)^3=8csc^3phi, isso fica
2pisinphicdot13(8csc^3phi-csc^3phi) =2pisinphicdot73csc^3phi =14pi3,csc^2phi

Passo 4

Fica portanto
integralphi=pi/6^pi/314pi3,csc^2phi;dphi =14pi3integralpi/6^pi/3csc^2phi;dphi
Sabemos que integralcsc^2phi,dphi=-cotphi. Logo
integralpi/6^pi/3csc^2phi,dphi =l[-cotphir]pi/6^pi/3 =-cotl(tfracpi3r)+cotl(tfracpi6r) =-tfrac1raiz3+raiz3 =2raiz3

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac14pi3 temos
14pi3cdot2raiz3 =28pi3raiz3 =28piraiz39

Resposta

28piraiz39

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