Resolva os problemas de valores iniciais:
Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
com
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, encontramos o fator integrante
, que é dado por
.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por
para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto. Ficamos com:
Agora integramos ambos os lados em relação a
$$
y,e^{2x}=\int 32,e{2x},dx=16,e{2x}+C
y=16+Ce^{-2x}
0=16+C\quad\implies\quad C=-16
$$
Logo, a solução particular é obtida substituindo .
Logo, a solução particular é obtida substituindo
Resposta
y=16\bigl(1-e^{-2x}\bigr)