Resolva os problemas de valores iniciais:
d yd x+2 y=32 ; y(0)=0

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por dydx + 2y = 32 com y(0)=0. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, encontramos o fator integrante mu(x), que é dado por mu(x)=e^integral 2,dx=e^2x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^2x para reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto. Ficamos com:
ddxl(y,e^2xr)=32,e^2x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
$$
y,e^{2x}=\int 32,e{2x},dx=16,e{2x}+C y,e^2x=integral 32,e^2x,dx=16,e^2x+C
y=16+Ce^{-2x} yçã
0=16+C\quad\implies\quad C=-16
$$
Logo, a solução particular é obtida substituindo y=16+Ce^-2x.

Resposta

y=16\bigl(1-e^{-2x}\bigr)

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