Exercício 3. Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto
, além das direções em que elas ocorrem. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para achar as taxas de variação, primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Em relação a
:
Em relação a
:
Logo, o gradiente é
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
:
Passo 4
A derivada direcional máxima no ponto é o módulo do gradiente, ou seja
, e ocorre na direção do próprio gradiente, isto é no vetor unitário
. A derivada direcional mínima é o negativo desse módulo,
, e ocorre na direção oposta,
.
Resposta
Taxa de variação máxima = 1 na direção (1,0). Taxa de variação mínima = -1 na direção (-1,0).