Exercício 3. Determine a taxa de variação máxima e mínima de f no ponto dado e a direção que isso ocorre.
f(x, y)=x e^x y, (0,2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de variação máxima e mínima de f(x,y)=x e^xy no ponto (0,2), além das direções em que elas ocorrem. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para achar as taxas de variação, primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Em relação a x:
partial fpartial x=e^xy+x y e^xy=e^xy(1+xy)
Em relação a y:
partial fpartial y=x^2 e^xy
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(e^xy(1+xy),,x^2 e^xyr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (0,2):
nabla f(0,2)=l(e^0(1+0),,0^2 e^0r)=(1,0)

Passo 4

A derivada direcional máxima no ponto é o módulo do gradiente, ou seja |nabla f(0,2)|=1, e ocorre na direção do próprio gradiente, isto é no vetor unitário (1,0). A derivada direcional mínima é o negativo desse módulo, -1, e ocorre na direção oposta, (-1,0).

Resposta

Taxa de variação máxima = 1 na direção (1,0). Taxa de variação mínima = -1 na direção (-1,0).

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