Integrar a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente integrar a equação diferencial:
Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender um pouco sobre como manipular derivadas. Vamos por partes para não ficar complicado!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de
de
e a segunda derivada de
de
. Assim, nossa equação fica:
Queremos transformar essa equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para facilitar a integração.
Passo 3
Para reduzir a ordem da equação, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Essa manobra é útil porque a expressão
pode ser reescrita como a derivada de
. Isso nos ajuda a integrar mais facilmente.
Passo 4
Reconhecendo que:
E também que:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Simplificando um pouco, temos:
Passo 6
Para resolver para
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, nossa equação está na forma:
Passo 7
Essa equação ainda é um pouco complicada para integrar diretamente, mas podemos separar as variáveis
e
:
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é obtida integrando os passos acima, resultando em uma relação implícita entre
e
. A expressão final depende da constante de integração
e pode ser escrita formalmente como:
Onde
é outra constante de integração. Para obter uma expressão explícita para
em função de
, seria necessário resolver essa integral específica, que pode envolver funções especiais dependendo do valor de
.