Integrar a equação diferencial:
y^prime prime+1y^3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente integrar a equação diferencial:
y'' + 1y^3 = 0
Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender um pouco sobre como manipular derivadas. Vamos por partes para não ficar complicado!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de y'' + 1y^3 = 0 de e a segunda derivada de de . Assim, nossa equação fica:
Queremos transformar essa equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para facilitar a integração.

Passo 3

Para reduzir a ordem da equação, vamos multiplicar ambos os lados por y' y'' + y'y^3 = 0 :
Essa manobra é útil porque a expressão pode ser reescrita como a derivada de . Isso nos ajuda a integrar mais facilmente.

Passo 4

Reconhecendo que:
y' y'' = ddx ( (y')^22 )
E também que:
y'y^3 = ddx ( -12 y^2 )
Então, nossa equação fica:
ddx ( (y')^22 ) + ddx ( -12 y^2 ) = 0

Passo 5

Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação a (y')^22 - 12 y^2 = C :
(y')^2 = 1y^2 + 2C
Onde é a constante de integração. Simplificando um pouco, temos:

Passo 6

Para resolver para y' = dydx = raiz 1y^2 + 2C , vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
dydx = raiz 1y^2 + 2C
Agora, nossa equação está na forma:

Passo 7

Essa equação ainda é um pouco complicada para integrar diretamente, mas podemos separar as variáveis dyraiz 1y^2 + 2C = dx e :
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é obtida integrando os passos acima, resultando em uma relação implícita entre integral yraiz1 + 2C y^2 , dy = x + K e . A expressão final depende da constante de integração e pode ser escrita formalmente como:
Onde é outra constante de integração. Para obter uma expressão explícita para em função de , seria necessário resolver essa integral específica, que pode envolver funções especiais dependendo do valor de .

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