Sejam f, g: X R contínuas no ponto a in X. Mostre que as funções abaixo são contínuas em a.
b) f cdot g

Passo 1

Temos duas funções contínuas em e queremos mostrar que o produto também é contínuo em . Vamos usar a definição de continuidade (epsilon-delta) e propriedades de desigualdade triangular.

Passo 2

Pela definição de continuidade de , para todo existe tal que implica . Vamos procurar um que garanta sempre que .

Passo 3

Definindo , observamos:
|f(x)g(x)-f(a)g(a)|=|f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))|
Aplicando a desigualdade triangular, temos
|f(x)g(x)-f(a)g(a)|<=|f(x)|,|g(x)-g(a)|+|g(a)|,|f(x)-f(a)|

Passo 4

Como é contínua em , existe tal que implica . Assim, para , temos e, consequentemente,
|f(x)|<=|f(a)|+|f(x)-f(a)|<|f(a)|+1

Passo 5

Agora, dado , fazemos as escolhas:
  • Pelo que restou, escolhemos tal que implica .
  • Escolhemos tal que implica .
  • Já temos .
    Definimos então .
    Para , todas as condições acima valem. Logo,
|f(x)g(x)-f(a)g(a)|<=(|f(a)|+1)varepsilon2(|f(a)|+1)+|g(a)|varepsilon2|g(a)|=varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
Isso mostra que é contínua em por definição.

Resposta

A função produto xmapsto f(x)g(x) é contínua em a.

Exercícios relacionados