Sejam
contínuas no ponto
. Mostre que as funções abaixo são contínuas em
.
b)
b)
Passo 1
Temos duas funções contínuas em e queremos mostrar que o produto também é contínuo em . Vamos usar a definição de continuidade (epsilon-delta) e propriedades de desigualdade triangular.
Passo 2
Pela definição de continuidade de , para todo existe tal que implica . Vamos procurar um que garanta sempre que .
Passo 3
Definindo , observamos:
Aplicando a desigualdade triangular, temos
Passo 4
Como é contínua em , existe tal que implica . Assim, para , temos e, consequentemente,
Passo 5
Agora, dado , fazemos as escolhas:
- Pelo que restou, escolhemos tal que implica .
- Escolhemos tal que implica .
- Já temos .
Definimos então .
Para , todas as condições acima valem. Logo,
Isso mostra que é contínua em por definição.
Resposta
A função produto
é contínua em
.