Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
y^prime prime+2 y^prime+10 y=0

Passo 1

Nesse exercício, vamos resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 2y' + 10y = 0. Para isso, precisamos usar o método da equação característica, onde substituímos y = e^rx e encontramos as raízes r.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y = e^rx. Como isso implica que y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx, a equação diferencial se torna
r^2 e^rx + 2r e^rx + 10 e^rx = 0
Como e^rx nunca é zero, podemos dividir por e^rx e obter:
r^2 + 2r + 10 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r^2 + 2r + 10 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é De. Então,
r = -2 pm raiz-362 = -2 pm 6i2 = -1 pm 3i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas na forma r = alpha pm beta i com alpha = -1 e beta = 3, a solução geral da equação diferencial é dada por
y(x) = e^alpha xl(C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x)r)
Substituindo os valores de alpha e beta, temos
y(x) = e^-xl(C1 cos(3x) + C2 sin(3x)r)

Resposta

y(x) = e^-xl(C1 cos(3x) + C2 sin(3x)r).

Exercícios relacionados