Integrar as equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros
y^prime prime-7 y^prime+6 y=sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
y'' - 7y' + 6y = sin x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' - 7y' + 6y = 0
Para isso, escrevemos a equação característica:
r^2 - 7r + 6 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r = 7 pm raiz49 - 242 = 7 pm 52 . Usando a fórmula de Bhaskara:
r1 = 7 + 52 = 6 r2 = 7 - 52 = 1
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^6x + C2 e^x
Onde e são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular y1 = e^6x y2 = e^x usando o método da variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:

Passo 6

As fórmulas para a variação de parâmetros são:
yp = u1 y1 + u2 y2
Onde yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2' yp'' = u1'' y1 + 2u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2u2' y2' + u2 y2'' e são funções que vamos determinar. As derivadas de são:

Passo 7

Para simplificar, impostamos:
u1' y1 + u2' y2 = 0 u1' y1' + u2' y2' = sin x
Isso gera um sistema de equações para e^6x u1' + e^x u2' = 0 6e^6x u1' + e^x u2' = sin x e :

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Subtraímos a primeira equação da segunda:
(6e^6x u1' + e^x u2') - (e^6x u1' + e^x u2') = sin x 5e^6x u1' = sin x u1' = sin x5e^6x
Agora, substituímos e^6x ( sin x5e^6x ) + e^x u2' = 0 sin x5 + e^x u2' = 0 u2' = -sin x5e^x na primeira equação:

Passo 9

Integrando u1 = integral sin x5e^6x dx = 15 integral e^-6x sin x , dx u2 = integral -sin x5e^x dx = -15 integral e^-x sin x , dx e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integrais por partes ou tabelas de integrais.

Passo 10

Calculando integral e^ax sin bx , dx = e^axa^2 + b^2 (a sin bx - b cos bx) :
Usando a fórmula:
u1 = 15 cdot e^-6x36 + 1 (-6 sin x - cos x) = e^-6x185 (-6 sin x - cos x)
Aqui, e , então:

Passo 11

Calculando u2 = -15 cdot e^-x1 + 1 (-1 sin x - cos x) = -e^-x10 (-sin x - cos x) = e^-x10 (sin x + cos x) :
Usando a mesma fórmula com e :

Passo 12

Agora, montamos a solução particular:
yp = u1 y1 + u2 y2 yp = ( e^-6x185 (-6 sin x - cos x) ) e^6x + ( e^-x10 (sin x + cos x) ) e^x yp = -6 sin x - cos x185 + sin x + cos x10

Passo 13

Simplificando yp = -6 sin x - cos x185 + 18.5 (sin x + cos x)185 yp = -6 sin x - cos x + 18.5 sin x + 18.5 cos x185 yp = 12.5 sin x + 17.5 cos x185 yp = 574 sin x + 774 cos x :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^6x + C2 e^x + 574 sin x + 774 cos x
Onde e são constantes arbitrárias.

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