Integrar as equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular
usando o método da variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:
Passo 6
As fórmulas para a variação de parâmetros são:
Onde
e
são funções que vamos determinar. As derivadas de
são:
Passo 7
Para simplificar, impostamos:
Isso gera um sistema de equações para
e
:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Subtraímos a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 9
Integrando
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integrais por partes ou tabelas de integrais.
Passo 10
Calculando
:
Usando a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 11
Calculando
:
Usando a mesma fórmula com
e
:
Passo 12
Agora, montamos a solução particular:
Passo 13
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.