Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
S^prime prime-2 a S^prime+a^2=exp [t] a neq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.
Precisaremos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
S''-2aS'+a^2S=0
O polinômio característico é
r^2-2ar+a^2=(r-a)^2=0
logo temos raiz dupla r=a e a solução homogênea é
Sh(t)=(C1+C2t)e^at

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar, como o termo não homogêneo é e^t e t=1 não é raiz da característica ( aneq1), assumimos
Sp(t)=K e^t
Então
Sp'=Ke^t,
Sp''=Ke^t
Substituindo na equação original:
Ke^t-2aKe^t+a^2Ke^t=K(1-2a+a^2)e^t=K(a-1)^2e^t
que deve igualar e^t, logo
K(a-1)^2=1
e portanto
K=1(a-1)^2

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Então:
S(t)=(C1+C2t)e^at+e^t(a-1)^2

Resposta

S(t)=(C_{1}+C_{2}t)e{at}+\frac{e{t}}{(a-1)^{2}}

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