Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.
Precisaremos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para a parte não homogênea.
conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.
Precisaremos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
O polinômio característico é
logo temos raiz dupla
e a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar, como o termo não homogêneo é
e
não é raiz da característica (
), assumimos
Então
Substituindo na equação original:
que deve igualar
, logo
e portanto
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Então:
Resposta
S(t)=(C_{1}+C_{2}t)e{at}+\frac{e{t}}{(a-1)^{2}}