Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais de Coeficientes Constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar soluções que satisfaçam a equação dada, geralmente usando métodos de álgebra.
Passo 2
Vamos começar assumindo que a solução tem a forma de uma função exponencial:
Aqui,
é um número que vamos determinar. Essa forma funciona bem para equações de coeficientes constantes porque as derivadas manterão a mesma forma exponencial.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos essas derivadas na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos fatorar
da expressão:
Como
nunca é zero, a equação fica:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para
:
Então, as soluções são:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada valor de
, temos uma solução independente:
Passo 7
A solução geral é a combinação linear dessas soluções independentes:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.