Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
y^prime prime-y^prime=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y' = 0
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais de Coeficientes Constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar soluções que satisfaçam a equação dada, geralmente usando métodos de álgebra.

Passo 2

Vamos começar assumindo que a solução tem a forma de uma função exponencial:
y = e^rt
Aqui, é um número que vamos determinar. Essa forma funciona bem para equações de coeficientes constantes porque as derivadas manterão a mesma forma exponencial.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y' = r e^rt :
y'' = r^2 e^rt
r^2 e^rt - r e^rt = 0
Substituímos essas derivadas na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos fatorar e^rt (r^2 - r) = 0 da expressão:
r^2 - r = 0
Como nunca é zero, a equação fica:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para r(r - 1) = 0 :
r = 0 ou r = 1
Então, as soluções são:

Passo 6

Com os valores de y1 = e^0 cdot t = 1 encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada valor de y2 = e^1 cdot t = e^t , temos uma solução independente:

Passo 7

A solução geral é a combinação linear dessas soluções independentes:
y(t) = C1 cdot 1 + C2 cdot e^t
Onde e são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(t) = C1 + C2 e^t é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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