Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
y^I V+2 y^I I+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^IV + 2y'' + 9y = 0
Ou seja, vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, supondo uma solução do tipo y=e^rx. Isso leva a
r^4 + 2r^2 + 9 = 0
Para resolver, fazemos a substituição s = r^2, obtendo o polinômio de segundo grau
s^2 + 2s + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo s^2 + 2s + 9 = 0 pela fórmula de Bhaskara, temos
$$
gravando gravando $De, então
[
s = \frac{-2 \pm \sqrt{-32}}{2} = -1 \pm i2\sqrt2
$$

Passo 4

Agora precisamos extrair as raízes r = pmraizs. Vamos tomar primeiro s1 = -1 + i2raiz2. Aplicando a fórmula de raiz de número complexo:
  • Calcule o módulo |s1| = raiz(-1)^2 + (2raiz2)^2 = 3.
  • Então
raizs1 = pml(u + ivr), u = raiz|s1| + (-1)2 = 1, v = raiz|s1| - (-1)2 = raiz2
Logo obtemos duas raízes
r = 1 + iraiz2e r = -l(1 + iraiz2r)
De modo análogo, para s2 = -1 - i2raiz2 as raízes são
r = 1 - iraiz2e r = -l(1 - iraiz2r)

Passo 5

Com as quatro raízes r1 = 1 + iraiz2, r2 = 1 - iraiz2, r3 = -1 + iraiz2 e r4 = -1 - iraiz2, a solução geral complexa é
y(x) = C1 e^(1 + iraiz2)x + C2 e^(1 - iraiz2)x + C3 e^(-1 + iraiz2)x + C4 e^(-1 - iraiz2)x
Como queremos a forma real, agrupamos termos conjugados.

Passo 6

Convertendo para funções reais de seno e cosseno, obtemos a solução geral

Passo 7

dada por combinações lineares de e^x e e^-x multiplicadas pelas funções trigonométricas. A forma final é apresentada abaixo.

Resposta

$$\displaystyle y(x)=e^{x}\bigl(A\cos(\sqrt2,x)+B\sin(\sqrt2,x)\bigr);+
;e^{-x}\bigl(C\cos(\sqrt2,x)+D\sin(\sqrt2,x)\bigr),$$
onde y(x)=e^xl(Acos(raiz2,x)+Bsin(raiz2,x)r);+ ;e^-xl(Ccos(raiz2,x)+Dsin(raiz2,x)r), são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.

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