Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
Ou seja, vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada, supondo uma solução do tipo
. Isso leva a
Para resolver, fazemos a substituição
, obtendo o polinômio de segundo grau
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, temos
$$
gravando
, então
[
s = \frac{-2 \pm \sqrt{-32}}{2} = -1 \pm i2\sqrt2
s = \frac{-2 \pm \sqrt{-32}}{2} = -1 \pm i2\sqrt2
$$
Passo 4
Agora precisamos extrair as raízes
. Vamos tomar primeiro
. Aplicando a fórmula de raiz de número complexo:
- Calcule o módulo
. - Então
Logo obtemos duas raízes
De modo análogo, para
as raízes são
Passo 5
Com as quatro raízes
,
,
e
, a solução geral complexa é
Como queremos a forma real, agrupamos termos conjugados.
Passo 6
Convertendo para funções reais de seno e cosseno, obtemos a solução geral
Passo 7
dada por combinações lineares de
e
multiplicadas pelas funções trigonométricas. A forma final é apresentada abaixo.
Resposta
$$\displaystyle y(x)=e^{x}\bigl(A\cos(\sqrt2,x)+B\sin(\sqrt2,x)\bigr);+
;e^{-x}\bigl(C\cos(\sqrt2,x)+D\sin(\sqrt2,x)\bigr),$$
onde são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.
onde