Integrar as equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros
y^prime prime+y=(sec 2 x)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não‐homogênea
y'' + y = (sec 2x)^3/2,
usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é solução geral de equações lineares de 2.º ordem e variação de parâmetros, para o qual vamos precisar das soluções da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=pm i. Então duas soluções independentes são
y1(x)=cos x, y2(x)=sin x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(y1,y2)=cos x & sin x -sin x & cos x=cos^2 x+sin^2 x=1
Como W=1, facilita a aplicação da variação de parâmetros.

Passo 4

Pela fórmula de variação de parâmetros, uma particular pode ser escrita como
$$y_p=-y_1(x)\int \frac{y_2(x),g(x)}{W(x)},dx+ y_2(x)\int \frac{y_1(x),g(x)}{W(x)},dx,
yp=-y1(x)integral y2(x),g(x)W(x),dx+ y2(x)integral y1(x),g(x)W(x),dx, y_p=-\cos x\int \sin x,(\sec2x)^{3/2},dx + \sin x\int \cos x,(\sec2x)^{3/2},dx.$$

Passo 5

Para calcular as integrais
I1=integral sin x,(sec2x)^3/2,dx, I2=integral cos x,(sec2x)^3/2,dx,
neletramos a substituição u=tan x, pois du=sec^2x,dx, e
$$\sin x,dx=\frac{u}{(1+u2){3/2}},du,\quad \cos x,dx=\frac{1}{(1+u2){3/2}},du,\quad (\sec2x){3/2}=\Bigl(\frac{1+u2}{1-u2}\Bigr){3/2}.
sin x,dx=u(1+u^2)^3/2,du, cos x,dx=1(1+u^2)^3/2,du, (sec2x)^3/2=l(1+u^21-u^2r)^3/2 I_1=\int \frac{u}{(1-u2){3/2}},du,\quad I_2=\int \frac{1}{(1-u2){3/2}},du.$$

Passo 6

Essas integrais são padrão:
Para I1:
I1=integral u(1-u^2)^-3/2,du=-12integral (1-u^2)^-3/2d(1-u^2)= (1-u^2)^-1/2+C=1raiz1-tan^2x+C
Para I2:
I2=integral (1-u^2)^-3/2,du=uraiz1-u^2+C=tan xraiz1-tan^2x+C

Passo 7

Voltando a x, note que
$$1-\tan2x=\frac{\cos2x}{\cos2x},\quad \sqrt{1-\tan^2x}=\frac{\sqrt{\cos2x}}{|\cos x|}.
1-tan^2x=cos2xcos^2x, raiz1-tan^2x=raizcos2x|cos x| I_1=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos2x}},\quad I_2=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos2x}}.
cos x>0ãy_p=-\cos x,I_1+\sin x,I_2=-\cos x\frac{\cos x}{\sqrt{\cos2x}}+\sin x\frac{\sin x}{\sqrt{\cos2x}}= -\frac{\cos2x-\sin2x}{\sqrt{\cos2x}}= -\sqrt{\cos2x}.$$

Passo 8

A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
$$y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x;-
\sqrt{\cos2x},$$
otendo-se as condições de sinal em y(x)=C1cos x + C2sin x;- raizcos2x, e cos x para que a raiz esteja bem definida.

Resposta

y(x)=C_1,\cos x + C_2,\sin x - \sqrt{\cos2x}

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