Integrar as equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não‐homogênea
usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é solução geral de equações lineares de 2.º ordem e variação de parâmetros, para o qual vamos precisar das soluções da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada
A equação característica é , cujas raízes são . Então duas soluções independentes são
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de e :
Como W=1, facilita a aplicação da variação de parâmetros.
Passo 4
Pela fórmula de variação de parâmetros, uma particular pode ser escrita como
I1=integral sin x,(sec2x)^3/2,dx, I2=integral cos x,(sec2x)^3/2,dx,
neletramos a substituição u=tan x, pois du=sec^2x,dx, e
$$\sin x,dx=\frac{u}{(1+u2){3/2}},du,\quad \cos x,dx=\frac{1}{(1+u2){3/2}},du,\quad (\sec2x){3/2}=\Bigl(\frac{1+u2}{1-u2}\Bigr){3/2}.
sin x,dx=u(1+u^2)^3/2,du, cos x,dx=1(1+u^2)^3/2,du, (sec2x)^3/2=l(1+u^21-u^2r)^3/2 I_1=\int \frac{u}{(1-u2){3/2}},du,\quad I_2=\int \frac{1}{(1-u2){3/2}},du.$$
Passo 6
Essas integrais são padrão:
Para I1:
I1=integral u(1-u^2)^-3/2,du=-12integral (1-u^2)^-3/2d(1-u^2)= (1-u^2)^-1/2+C=1raiz1-tan^2x+C
Para I2: I2=integral (1-u^2)^-3/2,du=uraiz1-u^2+C=tan xraiz1-tan^2x+C