Integrar as equações diferenciais de coeficientes constantes
y^prime prime-7 y^prime+12 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
y'' - 7 y' + 12 y = 0
Isso faz parte do assunto de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo r^2 - 7r + 12 = 0 por , por e por 1. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 1 cdot 122 cdot 1 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
raiz49 - 48 = raiz1 = 1
Calculando o discriminante:
r = 7 pm 12
Então:

Passo 4

Isso nos dá duas raízes:
r1 = 7 + 12 = 4
r2 = 7 - 12 = 3
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais.

Passo 5

Portanto, a solução geral é:
y(x) = C1 e^4x + C2 e^3x
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^4x + C2 e^3x

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