Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime+6 y^prime+5 y=exp [2 x]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 6y' + 5y = e^2x. Isso envolve encontrar a solução geral, que é a soma da solução homogênea e de uma solução particular. Precisamos usar o método de coeficientes determinados.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada y'' + 6y' + 5y = 0. A equação característica é
r^2 + 6r + 5 = 0,
cuja solução dá r = -1 e r = -5. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp. Como o termo não-homogêneo é e^2x e 2 não é raiz da característica, supomos
yp(x) = A e^2x
Calculando derivadas:
yp' = 2A e^2x, yp'' = 4A e^2x
Substituindo na equação original:
yp'' + 6yp' + 5yp = (4A + 12A + 5A)e^2x = 21A e^2x
Para valer e^2x precisamos de 21A = 1, então A = 1/21.

Passo 4

A solução particular fica
yp(x) = 121e^2x
Portanto, a solução geral da equação completa é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x + 121e^2x

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-5x} + \frac{1}{21}e^{2x}

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