Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
. Isso envolve encontrar a solução geral, que é a soma da solução homogênea e de uma solução particular. Precisamos usar o método de coeficientes determinados.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica é
cuja solução dá
e
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não-homogêneo é
e
não é raiz da característica, supomos
Calculando derivadas:
Substituindo na equação original:
Para valer
precisamos de
, então
.
Passo 4
A solução particular fica
Portanto, a solução geral da equação completa é a soma de
e
:
Resposta
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-5x} + \frac{1}{21}e^{2x}