Integrar as equações diferenciais
iv) y^prime prime-y^prime-2 y =sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = sin(2x)
O conteúdo envolvido é: (i) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) achar uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvemos primeiro a parte homogênea
y'' - y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja solução é
r = 2 ou r = -1
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é sin(2x), propomos
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)
Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp'' = -4Acos(2x) -4Bsin(2x)

Passo 4

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original:
yp'' - yp' - 2yp = l(-4Acos -4Bsinr) -l(-2Asin+2Bcosr) -2l(Acos+Bsinr)
Agrupando em cos(2x) e sin(2x) obtemos
(-6A - 2B)cos(2x) ;+;(2A - 6B)sin(2x) ;=;sin(2x)
Isso gera o sistema
-6A - 2B = 0, 2A - 6B = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem B = -3A. Substituindo na segunda:
2A - 6(-3A) = 1 ;Longrightarrow; 20A = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac120,
B = -3cdottfrac120 = -tfrac320
Logo a solução particular é
yp(x) = 120cos(2x) ;-;320sin(2x)

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + 120cos(2x) - 320sin(2x)

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + 120cos(2x) - 320sin(2x)

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