Resolva a EDO homogênea:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y^primeprime-4y^prime+4y=0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico: assumimos uma solução da forma y=e^rx e encontramos r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx em y^primeprime-4y^prime+4y=0 temos
r^2e^rx-4re^rx+4e^rx=0
Como e^rxneq0, o polinômio característico é
r^2-4r+4=0

Passo 3

Resolvendo
r^2-4r+4=0
pelo discriminante,
De<a =(-4)^2-4cdot1cdot4=16-16=0,
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r=4pmraiz02=2
Temos uma raiz dupla r=2 de multiplicidade 2.

Passo 4

Para uma raiz dupla r=2 a solução geral da EDO é
y(x) =l(C1 + C2,xr)e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x

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