Resolva o PVI
r x^prime prime+7 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI: x'' + 7x = 0 com x(0)=1 e x'(0)=2. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para achar a solução.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:

Passo 3

r^2 + 7 = 0

Passo 4

Resolvendo, temos as raízes complexas

Passo 5

r = pm iraiz7

Passo 6

Como são raízes imaginárias puras, a solução geral é

Passo 7

x(t) = Acosl(raiz7,tr) + Bsinl(raiz7,tr)

Passo 8

Para determinar A e B, calculamos a derivada:

Passo 9

x'(t) = -Araiz7,sinl(raiz7,tr) + Braiz7,cosl(raiz7,tr)

Passo 10

Usamos as condições iniciais: em t=0,

Passo 11

x(0)=A=1,

Passo 12

x'(0)=Braiz7=2 implies B=2raiz7

Passo 13

Substituindo A e B na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

x(t) = cosl(raiz7,tr) + 2raiz7,sinl(raiz7,tr)

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