Verifique se as funções y1=e^2 x e y2=x e^2 x são linearmente independentes usando o Wronskiano.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções y1=e^2x e y2=x e^2x são linearmente independentes num intervalo qualquer, usando o Wronskiano. Vamos lembrar que, para duas funções y1 e y2, o Wronskiano é definido por
W(y1,y2)(x) =det y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) !,
e se W(y1,y2)(x)neq 0 para todo x no intervalo, então y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 2

Calcular a derivada de ,y1=e^2x. Por regra da cadeia, temos
y1'(x) =ddxe^2x =2e^2x

Passo 3

Calcular a derivada de ,y2=x e^2x. Aqui usamos a regra do produto:
y2'(x) =ddxl(xr),e^2x+x,ddxl(e^2xr) =1cdot e^2x+xcdot 2e^2x =e^2x(1+2x)

Passo 4

Montar o Wronskiano e simplificar:
W(y1,y2)(x) =det e^2x & x e^2x 2e^2x & e^2x(1+2x) =e^2xcdot e^2x(1+2x)-x e^2xcdot 2e^2x =e^4xl(1+2x-2xr) =e^4x
Como e^4x>0 para todo x, concluímos que o Wronskiano nunca é zero.

Resposta

As funções ,e^2x e ,x e^2x são linearmente independentes, pois o Wronskiano é e^4xneq 0 em qualquer ponto.

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