Verifique se as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções e são linearmente independentes num intervalo qualquer, usando o Wronskiano. Vamos lembrar que, para duas funções e , o Wronskiano é definido por
e se para todo no intervalo, então e são linearmente independentes.
Passo 2
Calcular a derivada de . Por regra da cadeia, temos
Passo 3
Calcular a derivada de . Aqui usamos a regra do produto:
Passo 4
Montar o Wronskiano e simplificar:
Como e^4x>0 para todo x, concluímos que o Wronskiano nunca é zero.
Resposta
As funções ,e^2x e ,x e^2x são linearmente independentes, pois o Wronskiano é e^4xneq 0 em qualquer ponto.