Integrar as equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros
y^prime prime+y^prime=sec x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' + y' = sec x pelo método da variação de parâmetros. É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar achar as soluções da homogênea, o Wronskiano, as fórmulas de u1' e u2' e depois integrar para obter a solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é y'' + y' = 0. Montando a equação característica r^2 + r = 0, temos as raízes r=0 e r=-1. Então as soluções fundamentais são y1(x)=1 e y2(x)=e^-x.

Passo 3

O Wronskiano de y1 e y2 é
W = dety1 & y2 y1' & y2' = det1 & e^-x 0 & -e^-x = -e^-x

Passo 4

No método da variação de parâmetros, assumimos yp = u1(x)y1 + u2(x)y2, com
u1' = -y2,fW, u2' = y1,fW,
onde f(x)=sec x. Substituindo,
$$
u_1’ = -\frac{e^{-x}\sec x}{-e^{-x}} = \sec x,$$
$$
u_2’ = \frac{1\cdot\sec x}{-e^{-x}} = -e^x\sec x.$$

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2. Para u1:
u1 = integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr|
Para u2:
u2 = integral -e^xsec x,dx = -integral e^xsec x,dx,
que permanece expresso pela integral.

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = lnl|sec x + tan xr| - e^-xintegral e^xsec x,dx

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 + C2 e^-x + lnl|sec x + tan xr| - e^-xintegral e^xsec x,dx

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} + \ln\bigl|\sec x + \tan x\bigr| - e^{-x}\int e^x\sec x,dx

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