Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime+4 y=2 sen 2 x

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos resolver a equação diferencial não-homogênea de coeficientes constantes
y'' + 4y = 2sin 2x
o que envolve encontrar primeiro a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo forçante.

Passo 2

Encontrando a solução homogênea: montamos a equação característica
r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos 2x + C2sin 2x

Passo 3

Escolhendo a forma da solução particular: como o termo forçante 2sin 2x coincide com a solução homogênea, há ressonância. Então tentamos
yp(x) = xl(Acos 2x + Bsin 2xr)

Passo 4

Calculando derivadas e substituindo: derivamos yp duas vezes, obtemos yp'' e colocamos em y'' + 4y. Após coletar coeficientes de sin 2x e cos 2x, igualamos a
2sin 2x = (-4A)sin 2x + (4B)cos 2x
Isso dá o sistema
-4A = 2, 4B = 0
Logo
A = -tfrac12, B = 0

Passo 5

Montando a solução geral: somamos a parte homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos 2x + C2sin 2x - x2cos 2x

Resposta

y(x) = C1cos 2x + C2sin 2x - x2cos 2x

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