Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
ou seja, vamos encontrar a parte homogênea e uma solução particular para montar a solução completa.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada
Resolvendo, obtemos as raízes
Logo a solução homogênea é
onde
Passo 3
Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes não determinados. Como o termo de força é
, fazemos o palpite
com
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos em
:
Então
Como isso deve ser igual a
, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, achamos
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular. Assim,
Resposta
y(x)=C_{1}e{x}+C_{2}e{-2x}-\tfrac{2}{5}\cos2x-\tfrac{6}{5}\operatorname{sen}2x