Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime+y^prime-2 y=8 sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
y''+y'-2y=8sen2x,
ou seja, vamos encontrar a parte homogênea e uma solução particular para montar a solução completa.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada
r^2+r-2=0
Resolvendo, obtemos as raízes
r1=1, r2=-2
Logo a solução homogênea é
yh=C1e^x+C2e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes.

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes não determinados. Como o termo de força é 8sen2x, fazemos o palpite
yp=Acos2x+Bsen2x,
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em y''+y'-2y:
yp'=-2Asen2x+2Bcos2x,
yp''=-4Acos2x-4Bsen2x
Então
yp''+yp'-2yp=(-6A+2B)cos2x+(-2A-6B)sen2x
Como isso deve ser igual a 8sen2x, igualamos os coeficientes:
-6A+2B=0,
-2A-6B=8
Resolvendo esse sistema, achamos
A=-tfrac25, B=-tfrac65

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular. Assim,
y(x)=C1e^x+C2e^-2x-tfrac25cos2x-tfrac65sen2x

Resposta

y(x)=C_{1}e{x}+C_{2}e{-2x}-\tfrac{2}{5}\cos2x-\tfrac{6}{5}\operatorname{sen}2x

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