Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^I I I-4 y^I I+5 y^I-2 y=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear não-homogênea via decomposição em solução homogênea mais particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica:
r^3 - 4r^2 + 5r - 2 = 0
Testando raízes, obtemos r=1 (multiplicidade 2) e r=2. Logo, pela teoria de EDOs lineares, a solução homogênea é
yc = C1 e^x + C2 x e^x + C3 e^2x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1 (2x+3) e 0 não é raiz da característica, tentamos uma solução particular do tipo
yp = A x + B

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos na EDO:
yp' = A,
yp'' = 0,
yp''' = 0
Substituindo em y''' -4y'' +5y' -2y = 2x+3
0 - 4cdot0 + 5A - 2(Ax + B) = -2A x + (5A - 2B)
que deve coincidir com 2x + 3. Igualando coeficientes obtemos:
Para x:
-2A = 2 implies A = -1
Para constante:
5A - 2B = 3 implies -5 - 2B = 3 implies B = -4

Passo 5

Assim, a solução particular é yp = -x - 4. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é dada por
y = y_c + y_p

Resposta

y = C_1 e^x + C_2 x e^x + C_3 e^{2x} - x - 4

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