Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução geral de EDO linear não-homogênea via decomposição em solução homogênea mais particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica:
Testando raízes, obtemos r=1 (multiplicidade 2) e r=2. Logo, pela teoria de EDOs lineares, a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1 (2x+3) e 0 não é raiz da característica, tentamos uma solução particular do tipo
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos na EDO:
Substituindo em
dá
que deve coincidir com
. Igualando coeficientes obtemos:
Para
:
Para constante:
Passo 5
Assim, a solução particular é
. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é dada por
y = y_c + y_p
Resposta
y = C_1 e^x + C_2 x e^x + C_3 e^{2x} - x - 4