Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
S^prime prime-a^2 S=t+1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
S'' - a^2 S = t + 1
Vamos usar o método da equação auxiliar para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação auxiliar
u03bb^2 - a^2 = 0 
As raízes são lambda = a e lambda = -a, então a solução homogênea é:
Sh(t) = C1 e^a t + C2 e^-a t

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, propomos:
Sp(t) = A t + B

Passo 4

Calculamos as derivadas de Sp:
Sp'(t) = A,
Sp''(t) = 0
Substituindo na equação original:
0 - a^2 (A t + B) = t + 1
igualando coeficientes de t e termo constante, obtemos:
-a^2 A = 1,
-a^2 B = 1,
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A = -1a^2,
B = -1a^2

Passo 5

A solução geral é a soma de Sh com Sp:
S(t) = C1 e^a t + C2 e^-a t - t + 1a^2

Resposta

S(t) = C1 e^a t + C2 e^-a t - t + 1a^2

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