Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime-3 y^prime=2-6 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de coeficientes constantes:
y'' - 3y' = 2 - 6x
Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da homogênea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular da não homogênea. Vamos precisar usar métodos de solução para equações lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções para a parte homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3y' = 0
Aqui, retiramos o lado direito, deixando a equação igual a zero. Para resolver essa equação homogênea, buscamos soluções da forma y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
y' = re^rt
y'' = r^2 e^rt
Substituindo na equação:
r^2 e^rt - 3r e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt(r^2 - 3r) = 0
Logo, temos a equação característica:
r^2 - 3r = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 3r = 0
Fatorando:
r(r - 3) = 0
Assim, as soluções para r são:
r = 0 e r = 3

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^0x + C2 e^3x = C1 + C2 e^3x
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos a partir das condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea:
y'' - 3y' = 2 - 6x
O lado direito é um polinômio de primeiro grau ( 2 - 6x), então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
yp = Ax + B
Onde A e B são constantes a serem determinados.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp:
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo na equação original:
0 - 3A = 2 - 6x
Simplificando:
-3A = 2 - 6x

Passo 8

Observamos que a igualdade deve valer para todos os valores de x. Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto:
Para o termo linear x:
0x = -6x Rightarrow 0 = -6 (o que não faz sentido) ã
Percebemos que nossa suposição inicial para yp não funciona porque a parte homogênea já contém soluções constantes. Portanto, precisamos multiplicar por x para encontrar uma solução particular adequada.

Passo 9

Vamos tentar uma solução particular da forma:
yp = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx
Calculando as derivadas:
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
Substituindo na equação original:
2A - 3(2Ax + B) = 2 - 6x
Simplificando:
2A - 6Ax - 3B = 2 - 6x

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo x:
-6A = -6 Rightarrow A = 1
Para o termo constante:
2A - 3B = 2 Rightarrow 2(1) - 3B = 2 Rightarrow 2 - 3B = 2 Rightarrow -3B = 0 Rightarrow B = 0

Passo 11

Com A = 1 e B = 0, a solução particular é:
yp = x^2

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y = yh + yp = C1 + C2 e^3x + x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + C2 e^3x + x^2

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