Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de coeficientes constantes:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da homogênea (quando o lado direito é zero) mais uma solução particular da não homogênea. Vamos precisar usar métodos de solução para equações lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções para a parte homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Aqui, retiramos o lado direito, deixando a equação igual a zero. Para resolver essa equação homogênea, buscamos soluções da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Logo, temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Fatorando:
Assim, as soluções para
são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos a partir das condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que a igualdade deve valer para todos os valores de
. Isso significa que os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto:
Para o termo linear :
Para o termo linear
Percebemos que nossa suposição inicial para
não funciona porque a parte homogênea já contém soluções constantes. Portanto, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada.
Passo 9
Vamos tentar uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo :
Para o termo
Para o termo constante:
Passo 11
Com
e
, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: