Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^I V+2 a^2 y^I I+a^4 y=8 a cos a x

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação diferencial não-homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^I V + 2a^2 y^I I + a^4 y = 8acos(ax)
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais de coeficientes constantes e vamos usar: (1) característica para a solução homogênea e (2) método de coeficientes indeterminados (ou método dos operadores) para a parte particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y^I V + 2a^2 y^I I + a^4 y = 0
A equação característica é
r^4 + 2a^2 r^2 + a^4 = (r^2 + a^2)^2 = 0,
com raízes duplas r = i a e r = -i a. Logo a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2 x)cos(ax) + (C3 + C4 x)sin(ax)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 8acos(ax) e cos(ax) e sin(ax) já estão na solução homogênea com multiplicidade 2, fazemos a tentativa
yp(x) = x^2l(Acos(ax) + Bsin(ax)r)

Passo 4

É mais simples usar o método dos operadores com a forma complexa. Definimos L = (D^2 + a^2)^2 e consideramos
yp^(c)(x) = C,x^2 e^i a x
Calcula-se
L[x^2 e^i a x] = -8a^2 e^i a x,
logo
L[yp^(c)] = C,(-8a^2)e^i a x = 8a e^i a x implies C = -1a

Passo 5

Voltando à parte real, obtemos
yp(x) = -1a x^2 cos(ax)

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é então
y(x) = (C1 + C2 x)cos(ax) + (C3 + C4 x)sin(ax) - 1a x^2 cos(ax)

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x)\cos(ax) + (C_3 + C_4 x)\sin(ax) - \frac{1}{a} x^2 \cos(ax)

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