Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O enunciado pede para integrar a equação diferencial não-homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais de coeficientes constantes e vamos usar: (1) característica para a solução homogênea e (2) método de coeficientes indeterminados (ou método dos operadores) para a parte particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
A equação característica é
com raízes duplas
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo forçante é
e
e
já estão na solução homogênea com multiplicidade 2, fazemos a tentativa
Passo 4
É mais simples usar o método dos operadores com a forma complexa. Definimos
e consideramos
Calcula-se
logo
Passo 5
Voltando à parte real, obtemos
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é então
Resposta
y(x) = (C_1 + C_2 x)\cos(ax) + (C_3 + C_4 x)\sin(ax) - \frac{1}{a} x^2 \cos(ax)