Integrar as equações diferenciais
y^prime prime y^prime=1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não-linear
que diz que
y'',y'=tfrac12
Isso entra no tema de redução de ordem por reconhecer derivadas de funções compostas. Vamos usar que a derivada de (y')^2 em relação a x dá algo em y'',y'.

Passo 2

Reconheço que
ddxl((y')^2r)=2,y',y''
Logo a equação y'',y'=tfrac12 pode ser escrita como
2,y',y''=1 Longrightarrow ddxl((y')^2r)=1

Passo 3

Integro ambos os lados em relação a x:
integralddxl((y')^2r),dx=integral1,dx
Isso dá
(y')^2=x+C1
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Agora extraio y':
y'=pmraizx+C1
E integro mais uma vez para achar y(x):
y(x)=pmintegralraizx+C1,dx +C2
Usando a primitivação de raizu obtemos
y(x)=pm23(x+C1)^3/2+C2
onde C2 é a segunda constante de integração.

Resposta

A solução geral é y(x)=pmtfrac23(x+C1)^3/2+C2, com constantes arbitrárias C1, C2.

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