Integrar as equações diferenciais
y^prime prime prime=y^prime prime 2

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação diferencial de terceira ordem y''' = (y'')^2. Vamos usar redução de ordem e quadraturas para obter a solução geral.

Passo 2

Definimos p(x)=y''(x). Então y'''=p' e a equação vira uma ODE de primeira ordem em p:
dpdx=p^2
Isso é separável.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integral dpp^2=integral dx
-1p=x+C1
Logo
p=y''=-1x+C1

Passo 4

Agora integramos y'' para obter y'. Temos
y'=integral y'',dx= -integral 1x+C1,dx= -lnlvert x+C1rvert + C2

Passo 5

Finalmente, integramos y' para achar y:
y=integrall(-lnlvert x+C1rvert + C2r)dx
Usando integralln u,du=uln u -u, com u=x+C1, obtemos
y=-(x+C1)lnlvert x+C1rvert + (x+C1)+C2x +C3
Reagrupando constantes chegamos à forma final.
Absorvendo o termo (x+C1) em constantes de integração adicionais, a solução geral simplifica para três constantes independentes.

Resposta

y(x)=-(x+C1)lnlvert x+C1rvert + C2,x + C3

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