Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais: integral 2 x^3 d xx^2+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2x^3x^2+x,dx usando frações parciais. O conteúdo envolve integração de funções racionais, que exige fatorar o denominador, reduzir a fração quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador e depois decompor em frações parciais próprias.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e simplificamos a fração:
x^2+x = x(x+1)
2x^3x^2+x = 2x^3x(x+1) = 2x^2x+1

Passo 3

Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), fazemos divisão polinomial de x^2 por x+1:
x^2x+1 = x-1 + 1x+1
Multiplicando tudo por 2:
2x^2x+1 = 2x - 2 + 2x+1

Passo 4

Substituímos na integral e separamos em termos mais simples:
integral 2x^3x^2+x,dx = integral l(2x - 2 + 2x+1r)dx = integral 2x,dx - integral 2,dx + integral 2x+1,dx

Passo 5

Agora, basta integrar termo a termo:
  • integral 2x,dx = x^2 + C1
  • integral 2,dx = 2x + C2
  • integral 2x+1,dx = 2ln|x+1| + C3
    Somando e agrupando as constantes em uma só, temos o resultado final.

Resposta

x^2 - 2x + 2ln|x+1| + C

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