Integrar as seguintes equações diferenciais:
5. [ 1,0] Resolver a EDO
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=0
sabendo que y=x^2 é uma solução particular.

Passo 1

Ok, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' + x y' - 4 y = 0
A gente sabe que y = x^2 é uma solução específica dessa equação. Vamos usar esse fato para encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis e o método de reduzir a ordem usando uma solução conhecida.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação diferencial de forma mais simples:
x^2 y'' + x y' - 4 y = 0
Sabendo que y = x^2 é uma solução, podemos usar o método de redução de ordem. Isso significa que vamos procurar uma segunda solução na forma y = v(x) cdot x^2, onde v(x) é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos supor que y = v(x) cdot x^2. Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y:
y' = v' cdot x^2 + 2 v cdot x
y'' = v'' cdot x^2 + 4 v' cdot x + 2 v
Agora, substituímos y, y', e y'' na equação original:
x^2(v'' x^2 + 4 v' x + 2 v) + x(v' x^2 + 2 v x) - 4 v x^2 = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
x^4 v'' + 4 x^3 v' + 2 x^2 v + x^3 v' + 2 x^2 v - 4 x^2 v = 0
Agrupando os termos semelhantes:
x^4 v'' + (4 x^3 v' + x^3 v') + (2 x^2 v + 2 x^2 v - 4 x^2 v) = 0
Simplificando:
x^4 v'' + 5 x^3 v' = 0

Passo 5

Agora, podemos dividir toda a equação por x^3 (desde que x neq 0):
x v'' + 5 v' = 0
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para v'. Vamos chamar u = v', então temos:
x u' + 5 u = 0

Passo 6

Essa é uma equação linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
u' + 5x u = 0
O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 5x dx = e^5 ln x = x^5

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^5 u' + 5 x^4 u = 0
Isso pode ser reescrito como:
ddx (x^5 u) = 0
Integrando ambos os lados:
x^5 u = C
Onde C é a constante de integração. Então:
u = Cx^5

Passo 8

Lembrando que u = v', temos:
v' = Cx^5
Agora, integramos novamente para encontrar v:
v = integral Cx^5 dx = C integral x^-5 dx = C ( x^-4-4 ) + D = -C4 x^4 + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 9

Agora, voltamos à expressão original para y:
y = v cdot x^2 = ( -C4 x^4 + D ) x^2 = -C4 x^2 + D x^2
Podemos renomear as constantes para simplificar:
y = Ax^2 + B x^2
Onde A = -C4 e B = D.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = Ax^2 + B x^2
Onde A e B são constantes reais.

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