Integrar as seguintes equações diferenciais:
5. [ 1,0] Resolver a EDO
sabendo que
é uma solução particular.
5. [ 1,0] Resolver a EDO
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
A gente sabe que
é uma solução específica dessa equação. Vamos usar esse fato para encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis e o método de reduzir a ordem usando uma solução conhecida.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação diferencial de forma mais simples:
Sabendo que
é uma solução, podemos usar o método de redução de ordem. Isso significa que vamos procurar uma segunda solução na forma
, onde
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos supor que
. Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Agora, substituímos
,
, e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, podemos dividir toda a equação por
(desde que
):
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então temos:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Agora, voltamos à expressão original para
:
Podemos renomear as constantes para simplificar:
Onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes reais.