Integrar as seguintes equações diferenciais:
4. [1,0]
y^prime prime+2y^3=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que resolver uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
y'' + 2y^3 = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de redução de ordem e integração. Vou te guiar passo a passo para entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de p = y' em relação a p' + 2y^3 = 0 de , ou seja:
Dessa forma, a segunda derivada vira a derivada de em relação a , que podemos escrever como . Assim, a equação original fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que p' = dpdx = dpdy cdot dydx = dpdy cdot p é a derivada de p cdot dpdy + 2y^3 = 0 em relação a . Mas como , podemos usar a regra da cadeia para escrever em termos de :
Substituindo isso na equação, temos:

Passo 4

Essa é agora uma equação diferencial de primeira ordem em p cdot dpdy = -2y^3 e integral p , dp = integral -2y^3 , dy . Vamos rearrumar para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integral p , dp = 12 p^2 + C1
E o lado direito:
integral -2y^3 , dy = 1y^2 + C2
Vamos combinar as constantes 12 p^2 = 1y^2 + C e em uma só constante :

Passo 6

Agora, substituímos 12 (y')^2 = 1y^2 + C de volta por (y')^2 = 2y^2 + 2C :
(y')^2 = 2y^2 + K
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos chamar de uma nova constante (já que é uma constante arbitrária):

Passo 7

Agora, queremos encontrar y' = dydx = raiz2y^2 + K em termos de dyraiz2y^2 + K = dx . Vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é uma equação separável, então vamos separar e :

Passo 8

Para integrar o lado esquerdo, pode ser útil fazer uma substituição. Entretanto, a integral pode não ter uma solução em forma de função elemental e pode ser expressa de forma implícita. Então, a solução geral da equação diferencial é dada por:
integral dyraiz2y^2 + K = x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
integral dyraiz2y^2 + K = x + C
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados