Integrar as seguintes equações diferenciais:
4. [1,0]
4. [1,0]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que resolver uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de redução de ordem e integração. Vou te guiar passo a passo para entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de
em relação a
de
, ou seja:
Dessa forma, a segunda derivada
vira a derivada de
em relação a
, que podemos escrever como
. Assim, a equação original fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
é a derivada de
em relação a
. Mas como
, podemos usar a regra da cadeia para escrever
em termos de
:
Substituindo isso na equação, temos:
Passo 4
Essa é agora uma equação diferencial de primeira ordem em
e
. Vamos rearrumar para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Vamos combinar as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta por
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos chamar
de uma nova constante
(já que
é uma constante arbitrária):
Passo 7
Agora, queremos encontrar
em termos de
. Vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é uma equação separável, então vamos separar
e
:
Passo 8
Para integrar o lado esquerdo, pode ser útil fazer uma substituição. Entretanto, a integral pode não ter uma solução em forma de função elemental e pode ser expressa de forma implícita. Então, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
e
são constantes de integração.