Integrar as seguintes equações diferenciais:
7. [1,0]
7. [1,0]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
a equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 4
Percebemos que o discriminante
é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Podemos escrever
, então:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.