Integrar as seguintes equações diferenciais:
7. [1,0]
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' + 2y' + 2y = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
y'' + a y' + b y = 0
a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, r^2 + 2r + 2 = 0 e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar as raízes r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(2)2(1) = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 4

Percebemos que o discriminante r = -2 pm 2i2 = -1 pm i é negativo, o que significa que as raízes são complexas. Podemos escrever , então:
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) ) , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^-t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:
onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(t) = e^-t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) é:
onde e são constantes arbitrárias.

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