Integrar as seguintes equações diferenciais:
- [1,0] Determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas:
sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar as trajetórias ortogonais à família de curvas definida por
, onde
é um número natural. Isso envolve calcular derivadas e entender como curvas se cruzam em ângulos retos. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente conceitos de equações diferenciais e ortogonalidade entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas
. Aqui,
é uma constante que muda para cada curva da família. Para encontrar a derivada dessa função, precisamos expressar
em função de
:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
para encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Então, a inclinação da tangente às curvas da família é
.
Passo 4
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que a inclinação da tangente às trajetórias seja o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Ou seja:
Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais é:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, vamos separar as variáveis
e
:
Isso facilita a integração de ambos os lados.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 2:
Aqui,
é apenas uma nova constante de integração.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas
são dadas por: