Integrar as seguintes equações diferenciais:
  1. [1,0] Determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas:
y x^n=C
sendo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar as trajetórias ortogonais à família de curvas definida por , onde é um número natural. Isso envolve calcular derivadas e entender como curvas se cruzam em ângulos retos. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente conceitos de equações diferenciais e ortogonalidade entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas y = Cx^n . Aqui, é uma constante que muda para cada curva da família. Para encontrar a derivada dessa função, precisamos expressar em função de :
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a para encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Derivando dydx = ddx ( Cx^n ) = -n Cx^n+1 = -n yx em relação a :
Então, a inclinação da tangente às curvas da família é .

Passo 4

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que a inclinação da tangente às trajetórias seja o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Ou seja:
dydxortogonal = -1( -n yx ) = xn y
Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais é:
dydx = xn y

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, vamos separar as variáveis n y , dy = x , dx e :
Isso facilita a integração de ambos os lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral n y , dy = integral x , dx
Calculando as integrais:
n2 y^2 = 12 x^2 + K
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por 2:
n y^2 = x^2 + C
Aqui, é apenas uma nova constante de integração.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de curvas n y^2 = x^2 + C são dadas por:

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