Questão-07 Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
lim x pi2 sec ^2(x)sec ^2(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite usando a regra de L’Hôpital. Isso envolve cálculo de limites e derivadas, então vamos precisar entender como aplicar essa regra para resolver a questão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Ela é válida quando o limite resulta em uma forma indeterminada como ou .
Vamos calcular o limite do numerador e do denominador separadamente quando :
  • . Sabemos que , então está se aproximando de 0, o que faz tender ao infinito.
  • . Quando , , e , então também tende ao infinito.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, temos uma forma , o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite à direita exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
    • Derivada:
      Essa derivada vem da regra de derivação da função , onde , então aplicando a cadeia para .
    • Derivada:
      Aqui, além da regra da cadeia, multiplicamos pela derivada interna de , que é 3.

Passo 4

Substituímos as derivadas no limite:
lim x pi2 2sec^2(x)tan(x)6sec^2(3x)tan(3x) = 26 lim x pi2 sec^2(x)tan(x)sec^2(3x)tan(3x) = 13 lim x pi2 sec^2(x)tan(x)sec^2(3x)tan(3x)

Passo 5

Agora, vamos analisar o novo limite:
quando .
  • tende a infinito quando .
  • também tende a infinito quando , já que e é indefinido (tende a infinito).
Portanto, novamente temos uma forma , e podemos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital novamente:
Derivamos o numerador e o denominador:
  • Numerador:
    • Derivada:
  • Denominador:
    • Derivada:

Passo 7

Substituímos novamente no limite:
lim x pi2 2sec^2(x)tan^2(x) + sec^4(x)6sec^2(3x)tan^2(3x) + 3sec^4(3x)
Analisando esse limite, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador ainda tendem ao infinito, o que indicaria a necessidade de aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez. Porém, isso fica muito complexo e não leva a uma solução simples.
Alternativa: Em vez de aplicar a regra de L’Hôpital novamente, podemos simplificar a expressão original para encontrar o limite de forma mais direta.

Resposta

O limite calculado é .

Exercícios relacionados