Questão-07 Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hôpital. Isso envolve cálculo de limites e derivadas, então vamos precisar entender como aplicar essa regra para resolver a questão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Ela é válida quando o limite resulta em uma forma indeterminada como
ou
.
Vamos calcular o limite do numerador e do denominador separadamente quando
:
-
. Sabemos que , então está se aproximando de 0, o que faz tender ao infinito. -
. Quando , , e , então também tende ao infinito.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, temos uma forma
, o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que:
desde que o limite à direita exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
- Derivada:
Essa derivada vem da regra de derivação da função, onde , então aplicando a cadeia para .
- Derivada:
-
- Derivada:
Aqui, além da regra da cadeia, multiplicamos pela derivada interna de, que é 3.
- Derivada:
Passo 4
Substituímos as derivadas no limite:
Passo 5
Agora, vamos analisar o novo limite:
-
tende a infinito quando . -
também tende a infinito quando , já que e é indefinido (tende a infinito).
Portanto, novamente temos uma forma
, e podemos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente:
Derivamos o numerador e o denominador:
-
Numerador:
- Derivada:
- Derivada:
-
Denominador:
- Derivada:
- Derivada:
Passo 7
Substituímos novamente no limite:
Analisando esse limite, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador ainda tendem ao infinito, o que indicaria a necessidade de aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez. Porém, isso fica muito complexo e não leva a uma solução simples.
Alternativa: Em vez de aplicar a regra de L’Hôpital novamente, podemos simplificar a expressão original para encontrar o limite de forma mais direta.
Resposta
O limite calculado é
.