Questão-07 Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
lim x 0(1x^2-1x^2 sec (x))

Passo 1

Resumo do exercício: Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar a regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão:
1x^2 - 1x^2 sec(x) = 1 - cos(x)x^2
Aqui, usamos que .

Passo 3

Agora, analisamos o que acontece quando 1 - cos(0) = 0 e 0^2 = 0 se aproxima de 0:
Portanto, o limite está na forma , que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador: (1 - cos(x))' = sin(x)
Derivada do denominador: (x^2)' = 2x
Então, a nova expressão do limite fica:
limx to 0 sin(x)2x

Passo 5

Conhecemos um limite importante:
limx to 0 sin(x)x = 1
Usando isso, podemos simplificar nosso limite atual:
limx to 0 sin(x)2x = 12 times limx to 0 sin(x)x = 12 times 1 = 12

Resposta

O limite é .

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