Integrar as seguintes equações diferenciais:
[1,0]
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x) y-x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver (integrar) a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-\operatorname{tg}(x)\,y-x=0.
As informações que temos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A variável independente é x.
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas dy/dx) e é linear em y.
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (isto é, integrar a EDO).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Comparando com a equação dada, obtemos
p(x)=-\operatorname{tg}(x),\qquad q(x)=x.
Explicando: a forma padrão é útil porque existe um procedimento (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Aqui p(x) é a função que multiplica y e q(x) é o termo independente.

Passo 3

Aplicar o método do fator integrante. A fórmula do fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Substituindo p(x)=-\operatorname{tg}(x):
\int p(x)\,dx=\int -\operatorname{tg}(x)\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Essa integral é uma integral conhecida: \int -\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx=\ln|\cos x|+C. Como constantes multiplicativas em \mu podem ser absorvidas depois, escolhemos a primitiva sem constante e obtemos
\mu(x)=\exp(\ln|\cos x|)=|\cos x|.
Para simplificar a escrita e assumir um intervalo onde \cos x tem sinal fixo, podemos tomar
\mu(x)=\cos x,
lembrando que a solução será válida onde \cos x\neq 0.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \cos x. A equação original escrita como
\frac{dy}{dx}-\operatorname{tg}(x)\,y=x
multiplicada por \cos x vira
\cos x\frac{dy}{dx}-\cos x\,\operatorname{tg}(x)\,y=\cos x\cdot x.
Simplificando \cos x\,\operatorname{tg}(x)=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x, obtemos
\cos x\frac{dy}{dx}-\sin x\,y = x\cos x.
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \cos x\cdot y, porque
\frac{d}{dx}(\cos x\cdot y)= -\sin x\cdot y + \cos x\cdot\frac{dy}{dx}.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}(\cos x\; y)=x\cos x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\cos x\; y=\int x\cos x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcule a integral \int x\cos x\,dx por partes. Use u=x e dv=\cos x\,dx. Então du=dx e v=\sin x. Pela fórmula de partes,
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C'.
Substituindo (absorvendo constantes em uma só constante C):
\cos x\; y = x\sin x + \cos x + C.

Passo 6

Isolar y dividindo por \cos x (novamente lembrando que \cos x\neq 0 no intervalo considerado):
y = \frac{x\sin x + \cos x + C}{\cos x}.
Separando termos:
y = x\frac{\sin x}{\cos x} + 1 + C\frac{1}{\cos x}.
Usando as funções trigonométricas usuais, isso fica
y = x\tan x + 1 + C\operatorname{sec} x,
onde C é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral da EDO no domínio onde \cos x\neq 0.

Resposta

y(x)=x\tan x + 1 + C\operatorname{sec} x

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