Integrar as seguintes equações diferenciais:
[1,0]
[1,0]
Passo 1
O enunciado pede para resolver (integrar) a equação diferencial
As informações que temos:
- A incógnita é a função
. - A variável independente é
. - A equação é de primeira ordem (aparece apenas
) e é linear em . - O que se pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação (isto é, integrar a EDO).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a equação dada, obtemos
Explicando: a forma padrão é útil porque existe um procedimento (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Aqui
é a função que multiplica
e
é o termo independente.
Passo 3
Aplicar o método do fator integrante. A fórmula do fator integrante
é
Substituindo
:
Essa integral é uma integral conhecida:
. Como constantes multiplicativas em
podem ser absorvidas depois, escolhemos a primitiva sem constante e obtemos
Para simplificar a escrita e assumir um intervalo onde
tem sinal fixo, podemos tomar
lembrando que a solução será válida onde
.
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
. A equação original escrita como
multiplicada por
vira
Simplificando
, obtemos
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto podemos escrever
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calcule a integral
por partes. Use
e
. Então
e
. Pela fórmula de partes,
Substituindo (absorvendo constantes em uma só constante
):
Passo 6
Isolar
dividindo por
(novamente lembrando que
no intervalo considerado):
Separando termos:
Usando as funções trigonométricas usuais, isso fica
onde
é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral da EDO no domínio onde
.