Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
\left(4 x^{2}+11 x y+9 y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(4 x^{2}+11 x y+9 y^{2}\right) d x - x^{2} d y = 0
e pede para integrar (ou seja, encontrar a solução geral). Vou listar claramente o que temos e o que se quer:
  • Informação dada: a equação diferencial escrita em diferencial total, envolvendo x e y.
  • O que se pede: encontrar a família de curvas y(x) que satisfazem essa equação (solução geral), incluindo a constante de integração.

Passo 2

Colocar a equação em forma dy/dx = \cdots facilita ver a dependência entre y e x. A partir de
\left(4 x^{2}+11 x y+9 y^{2}\right) d x - x^{2} d y = 0
passa-se todos os termos para obter
x^{2} d y = \left(4 x^{2}+11 x y+9 y^{2}\right) d x.
Dividindo por d x e por x^{2} (assumindo x\neq 0, tratamos x=0 separadamente depois se necessário) obtém-se a forma explícita
\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}+11 x y+9 y^{2}}{x^{2}}.
Agora escrevendo os termos divididos por x^{2}:
\frac{d y}{d x} = 4 + 11\frac{y}{x} + 9\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.

Passo 3

Observação/ideia de solução (aula rápida): quando o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, uma trocação muito útil é definir a nova variável \,v=\dfrac{y}{x}\,. Isso transforma a equação numa de variáveis separáveis. Vou explicar direitinho a substituição.
  • Definição: v=\dfrac{y}{x}. Então y=vx.
  • Derivada de y em relação a x usando produto: \dfrac{d y}{d x} = v + x\dfrac{d v}{d x}. (Explicando: derivada de vx = v\cdot 1 + x\cdot dv/dx.)
    Substituindo na equação obtida no Passo 2:
v + x\frac{d v}{d x} = 4 + 11v + 9v^{2}.
Reorganizando para isolar x\,dv/dx:
x\frac{d v}{d x} = 4 + 11v + 9v^{2} - v = 4 + 10v + 9v^{2}.

Passo 4

Agora temos uma equação separável para v:
\frac{d v}{4 + 10v + 9v^{2}} = \frac{d x}{x}.
Explicando a ideia de separação: separar todas as partes que dependem apenas de v à esquerda e as que dependem apenas de x à direita, então integrar ambos os lados.
Vamos integrar os dois lados:
\int \frac{d v}{9v^{2} + 10v + 4} = \int \frac{d x}{x}.
O lado direito é simples:
\int \frac{d x}{x} = \ln|x| + C_{1}.

Passo 5

Agora resolver a integral racional à esquerda. Primeiro completar o quadrado no denominador para levar a uma forma de \displaystyle\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}, cuja primitiva é \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\dfrac{u}{a}\big).
  • Denominador: 9v^{2}+10v+4.
    Fatorando 9 e completando quadrado:
9v^{2}+10v+4 = 9\left(v^{2}+\frac{10}{9}v\right)+4.
Complete o quadrado dentro do parêntese:
v^{2}+\frac{10}{9}v = \left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} - \left(\frac{5}{9}\right)^{2}.
Substituindo:
9v^{2}+10v+4 = 9\left[\left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} - \left(\frac{5}{9}\right)^{2}\right] + 4.
Calcule os termos constantes:
9\left(\frac{5}{9}\right)^{2} = \frac{25}{9},\qquad 4 - \frac{25}{9} = \frac{36-25}{9} = \frac{11}{9}.
Portanto
9v^{2}+10v+4 = 9\left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} + \frac{11}{9}.
Colocando em fator comum:
9v^{2}+10v+4 = 9\left[\left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{11}}{9}\right)^{2}\right].

Passo 6

Agora a integral esquerda fica
\int \frac{d v}{9\left[\left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{11}}{9}\right)^{2}\right]}.
Fatorando 1/9:
\frac{1}{9}\int \frac{d v}{\left(v+\frac{5}{9}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{11}}{9}\right)^{2}}.
Aplicando a primitiva padrão \displaystyle\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+\text{const}, com u=v+\dfrac{5}{9} e a=\dfrac{\sqrt{11}}{9}, obtemos
\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{\tfrac{\sqrt{11}}{9}}\arctan\!\left(\frac{v+\tfrac{5}{9}}{\tfrac{\sqrt{11}}{9}}\right) + C_{2}.
Simplificando o fator \dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{11}/9} = \dfrac{1}{\sqrt{11}} e notando que
\frac{v+\tfrac{5}{9}}{\tfrac{\sqrt{11}}{9}} = \frac{9v+5}{\sqrt{11}},
tem-se a primitiva esquerda igual a
\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{9v+5}{\sqrt{11}}\right) + C_{2}.

Passo 7

Igualando as primitivas das duas integrais (lado esquerdo e direito) e juntando as constantes de integração em uma só C, obtemos:
\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{9v+5}{\sqrt{11}}\right) = \ln|x| + C.
Multiplicando por \sqrt{11}:
\arctan\!\left(\frac{9v+5}{\sqrt{11}}\right) = \sqrt{11}\,\ln|x| + C',
onde C'=\sqrt{11}\,C é outra constante arbitrária.
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, substitui-se de volta:
\arctan\!\left(\frac{9\frac{y}{x}+5}{\sqrt{11}}\right) = \sqrt{11}\,\ln|x| + C'.
Ou, simplificando o argumento:
\arctan\!\left(\frac{9y+5x}{\sqrt{11}\,x}\right) = \sqrt{11}\,\ln|x| + C'.

Passo 8

Se for desejável uma forma explícita para y, pode-se aplicar a tangente em ambos os lados e isolar y. Fazendo isso (e usando uma constante K=\tan C') obtem-se
\frac{9y+5x}{\sqrt{11}\,x} = \tan\!\big(\sqrt{11}\,\ln|x| + C'\big)
e portanto
y = x\left(\frac{\sqrt{11}\,\tan\!\big(\sqrt{11}\,\ln|x| + C'\big) - 5}{9}\right).
Ambas as formas (a implícita com arctan ou a explícita com tan) representam a solução geral; a forma implícita costuma ser mais compacta e elegante.

Resposta

\displaystyle \arctan\!\left(\frac{9y+5x}{\sqrt{11}\,x}\right)=\sqrt{11}\,\ln|x|+C

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