Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
[ 1,0]
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para integrar (ou seja, encontrar a solução geral). Vou listar claramente o que temos e o que se quer:
- Informação dada: a equação diferencial escrita em diferencial total, envolvendo
e . - O que se pede: encontrar a família de curvas
que satisfazem essa equação (solução geral), incluindo a constante de integração.
Passo 2
Colocar a equação em forma
facilita ver a dependência entre
e
. A partir de
passa-se todos os termos para obter
Dividindo por
e por
(assumindo
, tratamos
separadamente depois se necessário) obtém-se a forma explícita
Agora escrevendo os termos divididos por
:
Passo 3
Observação/ideia de solução (aula rápida): quando o lado direito depende apenas da razão
, uma trocação muito útil é definir a nova variável
. Isso transforma a equação numa de variáveis separáveis. Vou explicar direitinho a substituição.
- Definição:
. Então . - Derivada de
em relação a usando produto: . (Explicando: derivada de = .)
Substituindo na equação obtida no Passo 2:
Reorganizando para isolar
:
Passo 4
Agora temos uma equação separável para
:
Explicando a ideia de separação: separar todas as partes que dependem apenas de
à esquerda e as que dependem apenas de
à direita, então integrar ambos os lados.
Vamos integrar os dois lados:
O lado direito é simples:
Passo 5
Agora resolver a integral racional à esquerda. Primeiro completar o quadrado no denominador para levar a uma forma de
, cuja primitiva é
.
- Denominador:
.
Fatorandoe completando quadrado:
Complete o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Calcule os termos constantes:
Portanto
Colocando em fator comum:
Passo 6
Agora a integral esquerda fica
Fatorando
:
Aplicando a primitiva padrão
, com
e
, obtemos
Simplificando o fator
e notando que
tem-se a primitiva esquerda igual a
Passo 7
Igualando as primitivas das duas integrais (lado esquerdo e direito) e juntando as constantes de integração em uma só
, obtemos:
Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária.
Lembrando que
, substitui-se de volta:
Ou, simplificando o argumento:
Passo 8
Se for desejável uma forma explícita para
, pode-se aplicar a tangente em ambos os lados e isolar
. Fazendo isso (e usando uma constante
) obtem-se
e portanto
Ambas as formas (a implícita com arctan ou a explícita com tan) representam a solução geral; a forma implícita costuma ser mais compacta e elegante.