Questão-07 Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar o cálculo de limites, especificamente a regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar manipular a expressão para aplicar essa regra, que nos ajuda quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com expoentes. Sabemos que
. Então, podemos reescrever nosso limite assim:
Agora, nosso foco é encontrar o limite do expoente:
.
Passo 3
Vamos simplificar
. Sabemos que
. Então, a expressão fica:
Isso é equivalente a:
Passo 4
Agora, observe que quando
:
-
(usando a expansão de Taylor para ) -
Então, nossa expressão está na forma
, que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Segundo a regra de L’Hôpital, se
está na forma
, então:
Aplicando isso à nossa expressão:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
Portanto, o limite original é: