Questão-07 Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar o cálculo de limites, especificamente a regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar manipular a expressão para aplicar essa regra, que nos ajuda quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com expoentes. Sabemos que lim x 0^+(x+1)^cot(x) = lim x 0^+ e^cot(x) ln(x+1) . Então, podemos reescrever nosso limite assim:
Agora, nosso foco é encontrar o limite do expoente: .

Passo 3

Vamos simplificar lim x 0^+ cos(x)sin(x) ln(x+1) . Sabemos que lim x 0^+ ln(x+1)tan(x) . Então, a expressão fica:
Isso é equivalente a:

Passo 4

Agora, observe que quando :
  • (usando a expansão de Taylor para )
Então, nossa expressão está na forma , que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Segundo a regra de L’Hôpital, se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) está na forma f(x) = ln(x+1) Rightarrow f'(x) = 1x+1 , então:
g(x) = tan(x) Rightarrow g'(x) = sec^2(x)
Aplicando isso à nossa expressão:
lim x 0^+ 1x+1sec^2(x) = lim x 0^+ 1(x+1)sec^2(x) = lim x 0^+ cos^2(x)x+1
Então, o limite se torna:

Passo 6

Agora, substituímos cos^2(0)0+1 = 1^21 = 1 na expressão simplificada:

Resposta

Portanto, o limite original é:
lim x 0^+(x+1)^cot(x) = e^1 = e

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