Seja F(x, y)=yx^2+y^2 i-xx^2+y^2 j.
Os resultados das partes (a) e (b) violam o Teorema 15.3.3? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial . A pergunta é se os resultados das partes (a) e (b) violam o Teorema 15.3.3. Para responder isso, precisamos entender qual é o conteúdo desse teorema e como ele se aplica ao nosso campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema 15.3.3. Supondo que este teorema trate sobre condições para um campo vetorial ser conservativo (uma suposição comum em cursos de cálculo vetorial), ele provavelmente afirma que se um campo vetorial é conservativo em um domínio simplesmente conexo, então ele é irrotacional (ou seja, seu rotacional é zero).

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso campo vetorial F(x, y) = yx^2+y^2 i - xx^2+y^2 j . Observamos que ele tem a forma:
Esse campo é bem conhecido e representa um campo vetorial que gira ao redor da origem.

Passo 4

Para verificar se rot , F = partialpartial x (-xx^2+y^2) - partialpartial y (yx^2+y^2) é conservativo, precisamos checar se seu rotacional é zero. Calculando o rotacional em duas dimensões:
Fazendo as derivadas, você verá que o rotacional é zero em todo lugar onde .

Passo 5

No entanto, o campo não está definido na origem , o que significa que o domínio não é simplesmente conexo (há um “buraco” na origem). O Teorema 15.3.3, que possivelmente requer um domínio simplesmente conexo, não se aplica diretamente aqui porque nosso domínio não satisfaz essa condição.

Passo 6

Além disso, sabemos que integrar ao longo de um caminho fechado que envolve a origem não resulta em zero, o que indica que não é conservativo nesse domínio específico.

Resposta

Não, os resultados das partes (a) e (b) não violam o Teorema 15.3.3. Isso ocorre porque o campo não está definido na origem, tornando o domínio não simplesmente conexo. Portanto, as condições do teorema não se aplicam nesse caso.

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