Integrar as seguintes equações diferenciais:
8. [1,0]
8. [1,0]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar a equação diferencial
. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, como encontrar a solução geral que inclui a solução da homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
Vamos dividi-la por
para simplificar:
Isso nos deixa na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, podemos usar o método de equação de coeficientes constantes se possível, mas aqui é mais direto usar uma substituição. Seja
, então
. Substituindo na equação:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 4
Vamos resolver
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui,
e
são constantes de integração. Essa é a solução geral da equação homogênea.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular
seja uma constante, já que o lado direito é uma função simples:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos tentar
.
Passo 7
Assumindo
, derivamos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ainda não funciona. Vamos então tentar
.
Passo 8
Assumindo
, derivamos:
Substituindo na equação:
Isso implica:
Como
deveria ser uma constante, essa tentativa também não funciona. Vamos tentar uma função linear:
.
Passo 9
Assumindo
, derivamos:
Substituindo na equação:
Isso implica:
Novamente,
deveria ser constante, então essa abordagem também não funciona. Parece que precisamos tentar uma solução particular diferente. Vamos inserir uma função proporcional a
, ou seja,
.
Passo 10
Na verdade, já tentamos
e não funcionou. Vamos tentar
. Derivamos:
Substituindo na equação:
Como antes, não funciona. Portanto, vamos usar o método de coeficientes indeterminados com
.
Passo 11
Assumindo
, derivamos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso indica que nossa suposição inicial está incorreta, pois
deveria ser uma constante. Assim, precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos tentar uma solução particular da forma
.
Passo 12
Voltando, parece que estamos presos. Vamos procurar uma solução geral combinando a homogênea e uma solução particular adequada. A solução geral será:
Já que as tentativas anteriores para
não funcionaram, consideramos que a solução particular pode ser uma constante específica. Vamos definir
e resolver:
Isso não é possível, então a solução particular não existe na forma constante. Portanto, a solução geral permanece:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes de integração.