Integrar as seguintes equações diferenciais:
8. [1,0]
(x+1) y^prime prime+y^prime=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar a equação diferencial . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, como encontrar a solução geral que inclui a solução da homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
(x + 1) y'' + y' = 2
Vamos dividi-la por y'' + 1x + 1 y' = 2x + 1 para simplificar:
y'' + P(x) y' = Q(x)
Isso nos deixa na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 1x + 1 y' = 0
Para resolver isso, podemos usar o método de equação de coeficientes constantes se possível, mas aqui é mais direto usar uma substituição. Seja p' + 1x + 1 p = 0 , então . Substituindo na equação:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 4

Vamos resolver mu(x) = e^integral 1x + 1 dx = e^ln|x + 1| = x + 1 . Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando fator integrante. O fator integrante (x + 1) p' + p = 0 implies ddx [p (x + 1)] = 0 é dado por:
p (x + 1) = C implies p = Cx + 1
Multiplicamos a equação por y' = Cx + 1 :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , temos:

Passo 5

Integrando y = C integral 1x + 1 dx + D = C ln|x + 1| + D em relação a :
Aqui, e são constantes de integração. Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' + 1x + 1 y' = 2x + 1
Vamos supor que a solução particular yp = K seja uma constante, já que o lado direito é uma função simples:
yp' = 0 e yp'' = 0
Derivando:
0 + 1x + 1 cdot 0 = 2x + 1 implies 0 = 2x + 1
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos tentar .

Passo 7

Assumindo yp' = Ax + 1 e yp'' = -A(x + 1)^2 , derivamos:
(x + 1) (-A(x + 1)^2) + Ax + 1 = 2x + 1
Substituindo na equação:
-Ax + 1 + Ax + 1 = 2x + 1 implies 0 = 2x + 1
Simplificando:
Ainda não funciona. Vamos então tentar .

Passo 8

Assumindo yp' = B e yp'' = 0 , derivamos:
(x + 1) cdot 0 + B = 2x + 1
Substituindo na equação:
B = 2x + 1
Isso implica:
Como deveria ser uma constante, essa tentativa também não funciona. Vamos tentar uma função linear: .

Passo 9

Assumindo yp' = A e yp'' = 0 , derivamos:
(x + 1) cdot 0 + A = 2x + 1
Substituindo na equação:
A = 2x + 1
Isso implica:
Novamente, deveria ser constante, então essa abordagem também não funciona. Parece que precisamos tentar uma solução particular diferente. Vamos inserir uma função proporcional a , ou seja, .

Passo 10

Na verdade, já tentamos yp' = A e yp'' = 0 e não funcionou. Vamos tentar (x + 1) cdot 0 + A = 2x + 1 . Derivamos:
Substituindo na equação:
Como antes, não funciona. Portanto, vamos usar o método de coeficientes indeterminados com .

Passo 11

Assumindo yp' = -K(x + 1)^2 e yp'' = 2K(x + 1)^3 , derivamos:
(x + 1) cdot 2K(x + 1)^3 + (-K(x + 1)^2) = 2x + 1
Substituindo na equação:
2K(x + 1)^2 - K(x + 1)^2 = 2x + 1
Simplificando:
K(x + 1)^2 = 2x + 1
K = 2 (x + 1)
Multiplicando ambos os lados por :
Isso indica que nossa suposição inicial está incorreta, pois deveria ser uma constante. Assim, precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos tentar uma solução particular da forma .

Passo 12

Voltando, parece que estamos presos. Vamos procurar uma solução geral combinando a homogênea e uma solução particular adequada. A solução geral será:
y = C1 ln|x + 1| + C2 + yp
Já que as tentativas anteriores para 0 + 0 = 2x + 1 não funcionaram, consideramos que a solução particular pode ser uma constante específica. Vamos definir y = C1 ln|x + 1| + C2 e resolver:
Isso não é possível, então a solução particular não existe na forma constante. Portanto, a solução geral permanece:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 ln|x + 1| + C2
onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados