Integrar as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x) y-x=0

Passo 1

O enunciado pede: integrar (ou seja, encontrar a solução geral de) a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x)\,y-x=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial está escrita em termos de x e y(x).
  • A função \operatorname{tg}(x) é a tangente de x.
  • Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação numa forma padrão de equação linear de 1ª ordem. Coloco o termo não-homogêneo à direita:
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x)\,y = x.
Aqui estou vendo a equação no formato
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde, neste caso, P(x)=-\operatorname{tg}(x) e Q(x)=x. Vou usar o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.

Passo 3

Lembrete rápido do método do fator integrante (aula curta): para
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)y, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x),
e então integramos ambos os lados.
Agora aplico isso ao nosso caso. Calculo o fator integrante com P(x)=-\operatorname{tg}(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\operatorname{tg}(x)\,dx\Big).
Como \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, tem-se
\int -\operatorname{tg}(x)\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\ln\!\big(\cos x\big)+C.
Escolho a constante aditiva zero na definição do fator integrante, então
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(\cos x)\big)=\cos x.
Observação: esse fator integrante faz sentido quando \cos x\neq 0; a solução será válida em intervalos onde \cos x não zera.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=\cos x:
\cos x\frac{d y}{d x}-\cos x\,\operatorname{tg}(x)\,y = x\cos x.
Como \cos x\,\operatorname{tg}(x)=\sin x, a esquerda fica
\cos x\frac{d y}{d x}-\sin x\,y.
Reconheço que isso é exatamente a derivada do produto \cos x\cdot y, pois
\frac{d}{dx}\big(\cos x\cdot y\big)=\cos x\frac{d y}{d x}-\sin x\,y.
Logo a equação transformada é
\frac{d}{dx}\big(\cos x\cdot y\big)=x\cos x.

Passo 5

Agora integro ambos os lados em x:
\cos x\cdot y = \int x\cos x\,dx + C,
onde C é a constante de integração geral. Preciso calcular \int x\cos x\,dx. Faço integração por partes: tomo u=x e dv=\cos x\,dx. Então du=dx e v=\sin x. Pela fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
obtém-se
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C_1.
Incorporando a constante C_1 na constante geral C, tenho:
\cos x\cdot y = x\sin x + \cos x + C.

Passo 6

Isolo y dividindo por \cos x (lembrando que isso exige \cos x\neq 0):
y = \frac{x\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{C}{\cos x}.
Simplificando usando \dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}(x) e \dfrac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x, obtenho a forma mais bonita da solução geral:
y(x)=x\,\operatorname{tg}(x)+1+C\,\operatorname{sec} x,
com C constante arbitrária. Lembrete: essa expressão é válida em qualquer intervalo onde \cos x\neq 0 (ou seja, entre pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).

Passo 7

Pequena verificação (opcional): derivando y(x)=x\tan x+1+C\operatorname{sec} x e substituindo na equação original recupera-se \dfrac{dy}{dx}-\tan x\,y = x, confirmando que a solução está correta (essa verificação é uma prática útil na prova).

Resposta

y(x)=x\,\operatorname{tg}(x)+1+C\,\operatorname{sec} x

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