Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede: integrar (ou seja, encontrar a solução geral de) a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação diferencial está escrita em termos de
e . - A função
é a tangente de . - Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação numa forma padrão de equação linear de 1ª ordem. Coloco o termo não-homogêneo à direita:
Aqui estou vendo a equação no formato
onde, neste caso,
e
. Vou usar o método do fator integrante para resolver esse tipo de equação.
Passo 3
Lembrete rápido do método do fator integrante (aula curta): para
define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
a esquerda se torna a derivada do produto
, isto é,
e então integramos ambos os lados.
Agora aplico isso ao nosso caso. Calculo o fator integrante com
:
Como
, tem-se
Escolho a constante aditiva zero na definição do fator integrante, então
Observação: esse fator integrante faz sentido quando
; a solução será válida em intervalos onde
não zera.
Passo 4
Multiplico a equação original por
:
Como
, a esquerda fica
Reconheço que isso é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo a equação transformada é
Passo 5
Agora integro ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração geral. Preciso calcular
. Faço integração por partes: tomo
e
. Então
e
. Pela fórmula
obtém-se
Incorporando a constante
na constante geral
, tenho:
Passo 6
Isolo
dividindo por
(lembrando que isso exige
):
Simplificando usando
e
, obtenho a forma mais bonita da solução geral:
com
constante arbitrária. Lembrete: essa expressão é válida em qualquer intervalo onde
(ou seja, entre pontos
).
Passo 7
Pequena verificação (opcional): derivando
e substituindo na equação original recupera-se
, confirmando que a solução está correta (essa verificação é uma prática útil na prova).